Seja
um grupo com elemento neutro
. Seja
.
Mostre que se
para todo
, então
é um grupo abeliano.
Mostre que se
Passo 1
O enunciado fornece:
- Um grupo
com elemento neutro . - Um elemento arbitrário
com . - A hipótese: para todo
com vale .
O que é pedido:
- Mostrar que
é um grupo abeliano, isto é, mostrar que para quaisquer vale
Passo 2
Entender a hipótese de forma prática. A condição
para todo
significa que todo elemento não‑identidade tem ordem
(a aplicação da operação duas vezes dá o neutro). Note também que para o elemento neutro
temos sempre
logo, em fato, para todo
vale
(porque para
é trivial e para
é hipótese).
Passo 3
Lembrar o conceito de inverso em grupo. Para
,
é o elemento que satisfaz
Como vimos no Passo 2, para qualquer
temos
. Portanto
próprio satisfaz a condição de ser inverso de si mesmo. Concluímos que, para todo
,
(Isto vale inclusive para
, já que
.)
Passo 4
Usar a propriedade padrão de grupos sobre inverso de um produto. Para quaisquer
vale a identidade bem conhecida
Para não deixar isso vago, mostro por que é verdade: calcule
e de modo análogo
. Assim
é o inverso de
, provando a igualdade.
Passo 5
Substituir os inversos usando o resultado do Passo 3. Como
e
, a fórmula do Passo 4 torna‑se
Passo 6
Observar que, por hipótese (ver Passo 2), o elemento
também satisfaz
, portanto
. Juntando com o resultado do Passo 5 obtemos
Isto vale para quaisquer
.
Passo 7
Concluir: como a igualdade
é válida para quaisquer
, a operação é comutativa em
. Logo
é abeliano. (Força aí — toda vez que tudo tem auto‑inverso, a multiplicação acaba comutando; um exemplo famoso desse tipo é o grupo de Klein.)