Seja (G, *) um grupo com elemento neutro e. Seja g \in G, g \neq e.
Mostre que se g * g=e para todo g \neq e, então G é um grupo abeliano.

Passo 1

O enunciado fornece:
  • Um grupo (G, *) com elemento neutro e.
  • Um elemento arbitrário g \in G com g \neq e.
  • A hipótese: para todo g \in G com g \neq e vale \,g * g = e\,.
O que é pedido:
  • Mostrar que G é um grupo abeliano, isto é, mostrar que para quaisquer a,b \in G vale
a * b = b * a.

Passo 2

Entender a hipótese de forma prática. A condição \,g * g = e para todo g \neq e significa que todo elemento não‑identidade tem ordem 2 (a aplicação da operação duas vezes dá o neutro). Note também que para o elemento neutro e temos sempre
e * e = e,
logo, em fato, para todo x \in G vale \,x * x = e (porque para x=e é trivial e para x\neq e é hipótese).

Passo 3

Lembrar o conceito de inverso em grupo. Para x \in G, x^{-1} é o elemento que satisfaz
x * x^{-1} = e \quad\text{e}\quad x^{-1} * x = e.
Como vimos no Passo 2, para qualquer x \in G temos x * x = e. Portanto x próprio satisfaz a condição de ser inverso de si mesmo. Concluímos que, para todo x \in G,
x^{-1} = x.
(Isto vale inclusive para x=e, já que e^{-1}=e.)

Passo 4

Usar a propriedade padrão de grupos sobre inverso de um produto. Para quaisquer a,b \in G vale a identidade bem conhecida
(a * b)^{-1} = b^{-1} * a^{-1}.
Para não deixar isso vago, mostro por que é verdade: calcule
(b^{-1} * a^{-1}) * (a * b) = b^{-1} * (a^{-1} * a) * b = b^{-1} * e * b = b^{-1} * b = e,
e de modo análogo (a * b) * (b^{-1} * a^{-1}) = e. Assim b^{-1} * a^{-1} é o inverso de a * b, provando a igualdade.

Passo 5

Substituir os inversos usando o resultado do Passo 3. Como a^{-1}=a e b^{-1}=b, a fórmula do Passo 4 torna‑se
(a * b)^{-1} = b * a.

Passo 6

Observar que, por hipótese (ver Passo 2), o elemento a * b também satisfaz (a * b) * (a * b) = e, portanto (a*b)^{-1} = a * b. Juntando com o resultado do Passo 5 obtemos
a * b = (a * b)^{-1} = b * a.
Isto vale para quaisquer a,b \in G.

Passo 7

Concluir: como a igualdade a * b = b * a é válida para quaisquer a,b \in G, a operação é comutativa em G. Logo G é abeliano. (Força aí — toda vez que tudo tem auto‑inverso, a multiplicação acaba comutando; um exemplo famoso desse tipo é o grupo de Klein.)

Resposta

G é abeliano.

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