Esboce a regiāo de integração e reescreva a integral trocando a ordem de integração. Em seguida, calcule a integral.
\int_{0}^{1} \int_{y^{2}}^{1}(x+y) d x d y

Passo 1

O enunciado pede três coisas: esboçar a região de integração, reescrever a integral trocando a ordem de integração e, por fim, calcular o valor da integral. A integral dada é
\int_{0}^{1}\int_{y^{2}}^{1}(x+y)\,dx\,dy.
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • O parâmetro externo varia como y de 0 até 1.
  • Para cada y fixo, x varia de x=y^{2} até x=1.
  • A função a integrar é (x+y), que é contínua em toda a região considerada.

Passo 2

Vamos entender e esboçar a região no plano xy.
  • A desigualdade y^{2}\le x\le 1 e 0\le y\le 1 define a região. A curva x=y^{2} é uma parábola com abertura para a direita; equivalentemente pode ser escrita y=\pm\sqrt{x}.
  • Como y está entre 0 e 1, só consideramos a parte superior: y=\sqrt{x} com 0\le y\le1.
  • Para y=0 obtém-se x variando de 0 a 1 (ponto (0,0) até (1,0)). Para y=1 temos x apenas no ponto x=1 (ponto (1,1)).
  • Portanto a região é a parte do plano entre a parábola x=y^{2} à esquerda e a reta vertical x=1 à direita, limitada verticalmente por y=0 e y=1.
(Imaginar o esboço: uma “fatia” entre a parábola que começa em (0,0) e atinge (1,1) e a linha vertical x=1.)

Passo 3

Determinar os novos limites trocando a ordem de integração.
  • Observação: a integral original integra primeiro em x (de y^{2} até 1) e depois em y (de 0 até 1). Para inverter, fixamos x e achamos para que valores de y o ponto (x,y) pertence à região.
  • Da condição y^{2}\le x e sabendo que y\ge0, obtemos 0\le y\le\sqrt{x}.
  • Agora, qual o intervalo de x que aparece na região? Como y varia de 0 a 1, y^{2} varia de 0 a 1. Logo x varia entre 0 e 1.
  • Conclusão: ao trocar a ordem, x vai de 0 a 1 e, para cada x, y vai de 0 a \sqrt{x}.

Passo 4

Escrever a integral com a ordem trocada.
A integral com a ordem dy\,dx fica
\int_{0}^{1}\int_{0}^{\sqrt{x}}(x+y)\,dy\,dx.

Passo 5

Explicar a troca de ordem (breve aula):
  • Como a função (x+y) é contínua em todo o retângulo que contém a região, vale o Teorema de Fubini: a integral dupla sobre uma região limitada pode ser calculada trocando a ordem de integração sem problema.
  • Procedimento prático para trocar a ordem: descreve-se a região por desigualdades, resolve-se para a variável que ficará como limite interno (aqui resolvemos y^{2}\le x em termos de y, obtendo 0\le y\le\sqrt{x}) e determina-se a variação global da outra variável (aqui x\in[0,1]).

Passo 6

Calcular a integral passo a passo.
Primeiro calcule a integral interna em y. Tratando x como constante ao integrar em y,
\int_{0}^{\sqrt{x}}(x+y)\,dy = \int_{0}^{\sqrt{x}} x\,dy + \int_{0}^{\sqrt{x}} y\,dy.
As primitivas:
  • \int x\,dy = x y (porque x é constante em relação a y),
  • \int y\,dy = \dfrac{y^{2}}{2}.
Portanto, avaliando de y=0 até y=\sqrt{x},
\int_{0}^{\sqrt{x}}(x+y)\,dy = \left[ x y + \dfrac{y^{2}}{2} \right]_{0}^{\sqrt{x}} = x\sqrt{x} + \dfrac{(\sqrt{x})^{2}}{2} = x^{3/2} + \dfrac{x}{2}.

Passo 7

Agora integrar em x:
\int_{0}^{1}\left(x^{3/2}+\dfrac{x}{2}\right)dx = \int_{0}^{1} x^{3/2}\,dx + \dfrac{1}{2}\int_{0}^{1} x\,dx.
Calcular as primitivas:
  • \int x^{3/2}\,dx = \dfrac{2}{5}x^{5/2} (regra: \int x^{p}\,dx = \dfrac{x^{p+1}}{p+1} para p\neq -1),
  • \int x\,dx = \dfrac{x^{2}}{2}.
Avaliar de 0 a 1
\left[\dfrac{2}{5}x^{5/2}\right]_{0}^{1} + \dfrac{1}{2}\left[\dfrac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = \dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{4}.

Resposta

\dfrac{13}{20}

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