Esboce a regiāo de integração e reescreva a integral trocando a ordem de integração. Em seguida, calcule a integral.
Passo 1
O enunciado pede três coisas: esboçar a região de integração, reescrever a integral trocando a ordem de integração e, por fim, calcular o valor da integral. A integral dada é
Informações importantes extraídas do enunciado:
- O parâmetro externo varia como
de até . - Para cada
fixo, varia de até . - A função a integrar é
, que é contínua em toda a região considerada.
Passo 2
Vamos entender e esboçar a região no plano
.
- A desigualdade
e define a região. A curva é uma parábola com abertura para a direita; equivalentemente pode ser escrita . - Como
está entre e , só consideramos a parte superior: com . - Para
obtém-se variando de a (ponto até ). Para temos apenas no ponto (ponto ). - Portanto a região é a parte do plano entre a parábola
à esquerda e a reta vertical à direita, limitada verticalmente por e .
(Imaginar o esboço: uma “fatia” entre a parábola que começa em
e atinge
e a linha vertical
.)
Passo 3
Determinar os novos limites trocando a ordem de integração.
- Observação: a integral original integra primeiro em
(de até ) e depois em (de até ). Para inverter, fixamos e achamos para que valores de o ponto pertence à região. - Da condição
e sabendo que , obtemos . - Agora, qual o intervalo de
que aparece na região? Como varia de a , varia de a . Logo varia entre e . - Conclusão: ao trocar a ordem,
vai de a e, para cada , vai de a .
Passo 4
Escrever a integral com a ordem trocada.
A integral com a ordem
fica
Passo 5
Explicar a troca de ordem (breve aula):
- Como a função
é contínua em todo o retângulo que contém a região, vale o Teorema de Fubini: a integral dupla sobre uma região limitada pode ser calculada trocando a ordem de integração sem problema. - Procedimento prático para trocar a ordem: descreve-se a região por desigualdades, resolve-se para a variável que ficará como limite interno (aqui resolvemos
em termos de , obtendo ) e determina-se a variação global da outra variável (aqui ).
Passo 6
Calcular a integral passo a passo.
Primeiro calcule a integral interna em
. Tratando
como constante ao integrar em
,
As primitivas:
-
(porque é constante em relação a ), -
.
Portanto, avaliando de
até
,
Passo 7
Agora integrar em
:
Calcular as primitivas:
-
(regra: para ), -
.
Avaliar de
a
dá