Esboce a região de integração e em seguida calcule a integral tripla.
(a) integral0^1 integral-2^1 integral1^3 2 z d z d y d x.

Passo 1

O exercício pede para calcular uma integral tripla de 2z sobre a região retangular definida por 0 ≤ x ≤ 1, –2 ≤ y ≤ 1 e 1 ≤ z ≤ 3, ou seja, estamos em Cálculo Multivariável integrando sobre um paralelepípedo.

Passo 2

A região R a ser integrada é um bloco reto no espaço com faces paralelas aos planos coordenados: 0 ≤ x ≤ 1, –2 ≤ y ≤ 1 e 1 ≤ z ≤ 3. Se fosse desenhar, bastaria esboçar um paralelepípedo cujos vértices variam nesses limites.

Passo 3

Primeiro integramos em z, mantendo x e y fixos:
integralz=1^3 2z ,dz = l[z^2r]1^3 = 3^2 - 1^2 = 9 - 1 = 8

Passo 4

Em seguida, como esse resultado é constante em x e y, integramos em y e depois em x:
integraly=-2^1 8 ,dy = 8,(1 - (-2)) = 8 times 3 = 24,
integralx=0^1 24 ,dx = 24 times (1 - 0) = 24

Resposta

24

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