Determine os reais x e y para que se tenha (2 x-3 y i) cdot(2+i)=-30 i.

Passo 1

Então, temos a equação (2x - 3y i) cdot (2 + i) = -30 i. Vamos resolver para encontrar os valores reais de x e y. Para isso, vamos precisar saber como multiplicar números complexos e igualar as partes reais e imaginárias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um número complexo tem duas partes: uma real e outra imaginária. Por exemplo, a + b i, onde a é a parte real e b i é a parte imaginária.

Passo 3

Vamos multiplicar os dois números complexos do lado esquerdo: (2x - 3y i) cdot (2 + i). Usamos a distributiva (ou FOIL) para multiplicar:
(2x)(2) + (2x)(i) + (-3y i)(2) + (-3y i)(i)

Passo 4

Vamos calcular cada termo:
  • (2x)(2) = 4x
  • (2x)(i) = 2x i
  • (-3y i)(2) = -6y i
  • (-3y i)(i) = -3y i^2
Lembrando que i^2 = -1, então:
-3y i^2 = -3y (-1) = 3y

Passo 5

Juntando todos os termos:
4x + 2x i - 6y i + 3y
Podemos separar as partes reais e imaginárias:
(4x + 3y) + (2x - 6y)i

Passo 6

Agora, igualamos essa expressão ao lado direito da equação, que é -30 i. Isso significa que as partes reais devem ser iguais e as partes imaginárias também:
4x + 3y = 0 2x - 6y = -30

Passo 7

Temos agora um sistema de equações lineares:
  1. 4x + 3y = 0
  2. 2x - 6y = -30
Vamos resolver esse sistema para encontrar x e y.

Passo 8

Podemos resolver a primeira equação para x:
4x + 3y = 0 implies 4x = -3y implies x = -3y4

Passo 9

Agora, substituímos x na segunda equação:
2(-3y4) - 6y = -30
-6y4 - 6y = -30
Simplificando -6y4 para -3y2:
-3y2 - 6y = -30

Passo 10

Vamos somar os termos com y:
-3y2 - 12y2 = -30
-15y2 = -30
Multiplicando ambos os lados por -2:
15y = 60 implies y = 4

Passo 11

Agora que sabemos que y = 4, substituímos de volta na expressão para x:
x = -3 cdot 44 = -3

Resposta

Os valores reais são x = -3 e y = 4.

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