Esboce a região de integração e troque a ordem de integração em:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma integral dupla:
Isso significa que estamos integrando uma função $ f(x, y) $ sobre uma região no plano $ xy $. Nosso objetivo é esboçar essa região de integração e depois trocar a ordem das integrações, ou seja, fazer $ dy , dx $ ao invés de $ dx , dy $. Para isso, vamos precisar entender os limites de integração atuais e como eles definem a região.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites da integral interna, que é em relação a $ x $. Para um valor fixo de $ y $ entre 0 e 1, $ x $ varia de $ y - 1 $ até $ 2 - 2y $. Vamos plotar essas duas retas para ver como elas se comportam.
A equação $ x = y - 1 $ é uma reta com inclinação 1 e intercepto em $ x = -1 $. Já $ x = 2 - 2y $ é uma reta com inclinação -2 e intercepto em $ x = 2 $.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas retas para saber os limites da região. Igualando as duas expressões para $ x $:
Resolvendo para $ y $:
Então, as duas retas se cruzam quando $ y = 1 $. Vamos verificar o valor de $ x $ nesse ponto:
Portanto, as retas se encontram no ponto $ (0, 1) $.
Passo 4
Com isso, podemos visualizar que a região de integração está limitada entre $ y = 0 $ e $ y = 1 $, e entre as retas $ x = y - 1 $ e $ x = 2 - 2y $. Vamos desenhar isso:
- No ponto $ y = 0 $, $ x $ varia de $ -1 $ a $ 2 $.
- Conforme $ y $ aumenta até 1, a linha esquerda ( $ x = y - 1 $ ) aumenta de $ -1 $ a $ 0 $, e a linha direita ( $ x = 2 - 2y $ ) diminui de $ 2 $ a $ 0 $.
A região é um quadrilátero com vértices em $ (-1, 0) $, $ (2, 0) $, $ (0, 1) $.
Passo 5
Agora queremos trocar a ordem de integração, ou seja, integrar primeiro em $ y $ e depois em $ x $. Para isso, precisamos determinar para cada $ x $ os limites de $ y $.
Observando a região:
- $ x $ varia de $ -1 $ a $ 2 $.
- Para cada $ x $, $ y $ varia entre a linha inferior $ y = x + 1 $ (derivada de $ x = y - 1 $) e a linha superior $ y = \frac{2 - x}{2} $ (derivada de $ x = 2 - 2y $).
Passo 6
Então, a nova ordem de integração fica:
Isso significa que agora, para cada $ x $ entre $ -1 $ e $ 2 $, $ y $ vai de $ x + 1 $ até $ \frac{2 - x}{2} $.
Resposta
A região de integração esboçada é o quadrilátero com vértices em $ (-1, 0) $, $ (2, 0) $, e $ (0, 1) $. Após trocar a ordem de integração, a integral fica: