Invertendo a ordem de integração, calcule:
integral0^pi integralx^pi sen yy d y d x

Passo 1

A integral que a gente quer resolver é
integral0^pi integralx^pi sen yy,dy,dx
Isso envolve troca de ordem de integração em integrais duplas, usando o Teorema de Fubini e a descrição da região de integração.

Passo 2

A região de integração é
D = (x,y)mid 0 <= x <= pi,; x <= y <= pi
Se a gente trocar a ordem, primeiro y vai de 0 a pi e, para cada y, x vai de 0 a y. Então a integral fica

Passo 3

integraly=0^pi integralx=0^y sen yy,dx,dy

Passo 4

Como sen yy não depende de x, a integral interna em x é
integral0^y sen yy,dx = sen yy cdot (y - 0) = sen y

Passo 5

A integral dupla então vira a integral simples
integral0^pi sen y,dy,
e essa é fácil de calcular.

Passo 6

Calculando:
integral0^pi sen y,dy = [-cos y]0^pi = (-cospi) - (-cos 0) = 1 - (-1) = 2

Resposta

2

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