Esboce a região da elipse x^29+y^216=1.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região determinada por
x^29+y^216=1
Isso é uma elipse no plano cartesiano. Para resolvê-la vamos identificar seus pontos notáveis (interceptos com os eixos), explorar sua simetria e, então, desenhar sua fronteira e, se desejado, sombrear o interior.

Passo 2

Para achar os interceptos com o eixo x, faça y=0 na equação da elipse:
x^29=1 Longrightarrow x=pm 3
Para achar os interceptos com o eixo y, faça x=0:
y^216=1 Longrightarrow y=pm 4
Os pontos (3,0), (-3,0), (0,4) e (0,-4) são, portanto, vértices da elipse.

Passo 3

A elipse é simétrica em relação aos eixos x e y. Uma parametrização que percorre toda a fronteira é
x=3cos t, y=4sin t, tin[0,2pi]
Conforme t varia de 0 a 2pi, obtemos uma curva fechada que passa pelos pontos acima e fornece um contorno suave.

Passo 4

Para esboçar no papel ou no quadro: trace os eixos coordenados, marque os pontos (pm3,0) e (0,pm4). Usando a simetria e, se quiser, alguns valores intermediários da parametrização (por exemplo t=pi/4 (3/raiz2,4/raiz2)), una esses pontos por uma curva suave fechada. Se a questão pedir “região”, sombreie o interior dessa elipse.

Resposta

A região é a elipse centrada na origem, com semieixo horizontal 3 e semieixo vertical 4, conforme esboçado acima, incluindo seu interior.

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