( 2,0 pontos) Derive:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
. A função dada é
Informações relevantes: cada termo é um monômio (ou constante) em
; os coeficientes são
,
,
e
; a variável independente é
. A tarefa é obter a expressão que representa a taxa de variação instantânea de
em função de
(isto é, a derivada).
Passo 2
Regras básicas que vamos usar (explicadas com calma):
ou seja, a derivada da soma é a soma das derivadas. Aqui
e
são quaisquer funções de
.
Também:
Também:
onde
é uma constante (a derivada de um múltiplo constante é o múltiplo constante da derivada).
E a derivada de uma constante é zero:
E a derivada de uma constante é zero:
Essas regras nos dizem que podemos derivar cada termo separadamente e multiplicar o resultado pelo coeficiente.
Passo 3
Regra do expoente (power rule), a mais importante aqui:
onde
é um número real (aqui usamos
inteiro positivo). Isso significa: para derivar
você multiplica por
e diminui o expoente em 1. Exemplos simples para fixar a ideia:
Na prática, aplicaremos essa regra a cada potência de
nos monômios.
Passo 4
Vamos derivar termo a termo aplicando as regras dos passos anteriores.
Termos originais:
,
,
,
.
- Para
: usar a regra do múltiplo e a regra do expoente.
- Para
:
- Para
:
- Para
(constante):
Passo 5
Somando as derivadas de cada termo (regra da soma) obtemos a derivada de
:
Opcionalmente podemos fatorar um
em evidência (útil em algumas aplicações):
O trinômio
tem discriminante negativo (portanto não fatoriza em fatores lineares reais), então a fatoração por
é a forma factorizada mais simples sobre os reais.