( 2,0 pontos) Derive:
f(x)=5 x^{4}-3 x^{3}+12 x^{2}-6

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função f. A função dada é
f(x)=5x^{4}-3x^{3}+12x^{2}-6.
Informações relevantes: cada termo é um monômio (ou constante) em x; os coeficientes são 5, -3, 12 e -6; a variável independente é x. A tarefa é obter a expressão que representa a taxa de variação instantânea de f em função de x (isto é, a derivada).

Passo 2

Regras básicas que vamos usar (explicadas com calma):
\frac{d}{dx}\big(u(x)+v(x)\big)=\frac{du}{dx}+\frac{dv}{dx},
ou seja, a derivada da soma é a soma das derivadas. Aqui u(x) e v(x) são quaisquer funções de x.
Também:
\frac{d}{dx}\big(c\cdot u(x)\big)=c\cdot\frac{du}{dx},
onde c é uma constante (a derivada de um múltiplo constante é o múltiplo constante da derivada).
E a derivada de uma constante é zero:
\frac{d}{dx}\text{(C)}=0.
Essas regras nos dizem que podemos derivar cada termo separadamente e multiplicar o resultado pelo coeficiente.

Passo 3

Regra do expoente (power rule), a mais importante aqui:
\frac{d}{dx}\big(x^{n}\big)=n\,x^{n-1},
onde n é um número real (aqui usamos n inteiro positivo). Isso significa: para derivar x^{n} você multiplica por n e diminui o expoente em 1. Exemplos simples para fixar a ideia:
\frac{d}{dx}\big(x^{4}\big)=4x^{3},\qquad \frac{d}{dx}\big(x^{2}\big)=2x.
Na prática, aplicaremos essa regra a cada potência de x nos monômios.

Passo 4

Vamos derivar termo a termo aplicando as regras dos passos anteriores.
Termos originais: 5x^{4}, -3x^{3}, 12x^{2}, -6.
  1. Para 5x^{4}: usar a regra do múltiplo e a regra do expoente.
\frac{d}{dx}\big(5x^{4}\big)=5\cdot\frac{d}{dx}\big(x^{4}\big)=5\cdot(4x^{3})=20x^{3}.
  1. Para -3x^{3}:
\frac{d}{dx}\big(-3x^{3}\big)=-3\cdot\frac{d}{dx}\big(x^{3}\big)=-3\cdot(3x^{2})=-9x^{2}.
  1. Para 12x^{2}:
\frac{d}{dx}\big(12x^{2}\big)=12\cdot\frac{d}{dx}\big(x^{2}\big)=12\cdot(2x)=24x.
  1. Para -6 (constante):
\frac{d}{dx}(-6)=0.

Passo 5

Somando as derivadas de cada termo (regra da soma) obtemos a derivada de f:
f'(x)=20x^{3}-9x^{2}+24x.
Opcionalmente podemos fatorar um x em evidência (útil em algumas aplicações):
f'(x)=x\big(20x^{2}-9x+24\big).
O trinômio 20x^{2}-9x+24 tem discriminante negativo (portanto não fatoriza em fatores lineares reais), então a fatoração por x é a forma factorizada mais simples sobre os reais.

Resposta

f'(x)=20x^{3}-9x^{2}+24x.

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