Esboce a região limitada pelas curvas dadas e calcule sua área:
e
;
Passo 1
O enunciado dá duas curvas e pede a área da região limitada por elas. Informações do problema:
- As curvas são
e . - A pergunta: esboçar a região limitada por essas curvas e calcular a sua área.
Passo 2
Primeiro precisamos encontrar os pontos de interseção — ou seja, os
onde as duas curvas têm o mesmo
. Igualamos as duas expressões:
Agora resolvemos essa equação para
.
Passo 3
Resolvendo a equação do passo anterior:
Portanto as curvas se interceptam em
e
. Esses serão os limites de integração quando calcularmos a área em
.
Passo 4
Precisamos saber qual curva está acima (maior
) entre
e
. Calculamos a diferença
Para
temos
, então
. Isso mostra que, entre as interseções, a curva
está acima de
. Logo, a área pedida é a integral da diferença (topo menos fundo) de
até
.
Explicação do método (fórmula): a área entre duas curvas
e
é
onde
e
são as abscissas de interseção. Aqui
e
, com
e
.
Passo 5
Montamos a integral:
Comentário didático sobre integrar polinômios: para integrar uma soma, integra-se termo a termo; a regra da potência diz que
para
. Constantes multiplicativas saem da integral.
Passo 6
Calculamos uma primitiva de
:
Verificação rápida: derivando
volta-se para
.
Passo 7
Avaliamo-la entre os limites
e
. Seja
Calculamos
e
:
Então a área é
Observação (simetria): podia-se também notar que o integrando
é uma função par, então a área é
. Isso levaria ao mesmo resultado
.
Passo 8
Esboço rápido da região (descrição verbal para desenhar): ambas são parábolas com concavidades opostas;
é uma parábola voltada para baixo com vértice em
;
é voltada para cima com vértice em
. Elas se cruzam em
formando uma “lente” simétrica em relação ao eixo
.