Esboce a região limitada pelas curvas dadas e calcule sua área:
y=x^{2}-12 e y=-x^{2}+6;

Passo 1

O enunciado dá duas curvas e pede a área da região limitada por elas. Informações do problema:
  • As curvas são y=x^{2}-12 e y=-x^{2}+6.
  • A pergunta: esboçar a região limitada por essas curvas e calcular a sua área.

Passo 2

Primeiro precisamos encontrar os pontos de interseção — ou seja, os x onde as duas curvas têm o mesmo y. Igualamos as duas expressões:
x^{2}-12 = -x^{2}+6.
Agora resolvemos essa equação para x.

Passo 3

Resolvendo a equação do passo anterior:
x^{2}-12 = -x^{2}+6
x^{2}+x^{2} = 6+12
2x^{2} = 18
x^{2} = 9
x = \pm 3.
Portanto as curvas se interceptam em x=-3 e x=3. Esses serão os limites de integração quando calcularmos a área em x.

Passo 4

Precisamos saber qual curva está acima (maior y) entre x=-3 e x=3. Calculamos a diferença
\bigl(-x^{2}+6\bigr)-\bigl(x^{2}-12\bigr) = -2x^{2}+18.
Para -3<x<3 temos x^{2}<9, então -2x^{2}+18>0. Isso mostra que, entre as interseções, a curva y=-x^{2}+6 está acima de y=x^{2}-12. Logo, a área pedida é a integral da diferença (topo menos fundo) de x=-3 até x=3.
Explicação do método (fórmula): a área entre duas curvas y_{\text{top}}(x) e y_{\text{bot}}(x) é
\text{Área}=\int_{a}^{b}\bigl(y_{\text{top}}(x)-y_{\text{bot}}(x)\bigr)\,dx,Á
onde a e b são as abscissas de interseção. Aqui y_{\text{top}}(x)=-x^{2}+6 e y_{\text{bot}}(x)=x^{2}-12, com a=-3 e b=3.

Passo 5

Montamos a integral:
\text{Área}=\int_{-3}^{3}\bigl[(-x^{2}+6)-(x^{2}-12)\bigr]\,dx =\int_{-3}^{3}\bigl(18-2x^{2}\bigr)\,dx.Á
Comentário didático sobre integrar polinômios: para integrar uma soma, integra-se termo a termo; a regra da potência diz que
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C
para n\neq -1. Constantes multiplicativas saem da integral.

Passo 6

Calculamos uma primitiva de 18-2x^{2}:
\int (18-2x^{2})\,dx = 18x -2\cdot\frac{x^{3}}{3} + C = 18x - \frac{2}{3}x^{3} + C.
Verificação rápida: derivando 18x - \frac{2}{3}x^{3} volta-se para 18-2x^{2}.

Passo 7

Avaliamo-la entre os limites -3 e 3. Seja
F(x)=18x - \frac{2}{3}x^{3}.
Calculamos F(3) e F(-3):
F(3)=18\cdot 3 - \frac{2}{3}\cdot 3^{3} = 54 - \frac{2}{3}\cdot 27 = 54 - 18 = 36,
F(-3)=18\cdot(-3) - \frac{2}{3}\cdot(-3)^{3} = -54 - \frac{2}{3}\cdot(-27) = -54 + 18 = -36.
Então a área é
\text{Área}=F(3)-F(-3)=36 - (-36)=72.Á
Observação (simetria): podia-se também notar que o integrando 18-2x^{2} é uma função par, então a área é 2\int_{0}^{3}(18-2x^{2})\,dx. Isso levaria ao mesmo resultado 72.

Passo 8

Esboço rápido da região (descrição verbal para desenhar): ambas são parábolas com concavidades opostas; y=-x^{2}+6 é uma parábola voltada para baixo com vértice em (0,6); y=x^{2}-12 é voltada para cima com vértice em (0,-12). Elas se cruzam em x=\pm 3 formando uma “lente” simétrica em relação ao eixo y.

Resposta

72

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