Nos Problemas 1-16, determine a série de Fourier de f no intervalo indicado.
f(x)=\left\{\begin{array}{rr}0, & -1<x<0 \\\ x, & 0 \leq x<1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a função definida por partes no intervalo (-1,1)\): \[f(x)=\begin{cases} 0, & -1<x<0,\\[4pt] x, & 0\le x<1. \end{cases}
A tarefa é determinar a série de Fourier de f\] no intervalo indicado (isto é, em \((-1,1), com extensão periódica de período 2).\n
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Domínio considerado para a expansão: -1<x<1 (logo L=1 e o período será 2).
  • A função é ímpar, par ou mista? Observando: f(-x) não é igual a -f(x) nem a f(x) de forma global (é mista), então a série terá termos em cosseno e seno em geral.
  • Pedimos a série de Fourier com as fórmulas padrão em (-L,L) com L=1.]

Passo 2

Recordando a forma padrão da série de Fourier para uma função com período 2L no intervalo (-L,L): para L=1,
f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(n\pi x)+b_n\sin(n\pi x)\bigr),
com os coeficientes dados por
a_0=\int_{-1}^{1} f(x)\,dx, \qquad a_n=\int_{-1}^{1} f(x)\cos(n\pi x)\,dx, \qquad b_n=\int_{-1}^{1} f(x)\sin(n\pi x)\,dx.
Aqui explico o que cada símbolo significa:
  • a_0/2 é o termo médio (constante) da série; ele mede a média de f num período.
  • a_n multiplica \cos(n\pi x): mede a componente de cosseno de frequência n.
  • b_n multiplica \sin(n\pi x): mede a componente de seno de frequência n.
    Como f(x)=0 em (-1,0) e f(x)=x em [0,1), todas as integrais sobre (-1,1) reduzem a integrais sobre (0,1).

Passo 3

Cálculo de a_0. Usando a definição,
a_0=\int_{-1}^{1} f(x)\,dx=\int_{-1}^{0}0\,dx+\int_{0}^{1}x\,dx=\int_{0}^{1}x\,dx.
Calcule a integral:
\int_{0}^{1}x\,dx=\left.\frac{x^2}{2}\right|_{0}^{1}=\frac{1}{2}.
Portanto
a_0=\frac{1}{2}\quad\Longrightarrow\quad \frac{a_0}{2}=\frac{1}{4}.
Interpretação rápida: a média de f num período vale 1/4.

Passo 4

Cálculo de a_n para n\ge1. Começamos pela integral reduzida:
a_n=\int_{-1}^{1} f(x)\cos(n\pi x)\,dx=\int_{0}^{1}x\cos(n\pi x)\,dx.
Para resolver \int_{0}^{1}x\cos(n\pi x)\,dx usamos integração por partes. Escolhemos u=x e dv=\cos(n\pi x)\,dx. Então du=dx e v=\dfrac{1}{n\pi}\sin(n\pi x). Aplicando \int u\,dv = uv-\int v\,du:
\int_{0}^{1}x\cos(n\pi x)\,dx =\left.\frac{x}{n\pi}\sin(n\pi x)\right|_{0}^{1} -\int_{0}^{1}\frac{1}{n\pi}\sin(n\pi x)\,dx.
O primeiro termo avaliado nos extremos dá zero porque \sin(n\pi)=0 e em x=0 aparece fator x. Assim resta
\int_{0}^{1}x\cos(n\pi x)\,dx =-\frac{1}{n\pi}\int_{0}^{1}\sin(n\pi x)\,dx.
Calcule a integral do seno:
\int_{0}^{1}\sin(n\pi x)\,dx =\left.-\frac{1}{n\pi}\cos(n\pi x)\right|_{0}^{1} =-\frac{1}{n\pi}\bigl(\cos(n\pi)-\cos 0\bigr).
Substituindo:
\int_{0}^{1}x\cos(n\pi x)\,dx =-\frac{1}{n\pi}\left(-\frac{1}{n\pi}\bigl(\cos(n\pi)-1\bigr)\right) =\frac{1}{n^2\pi^2}\bigl(\cos(n\pi)-1\bigr).
Usando \cos(n\pi)=(-1)^n, obtemos
a_n=\frac{(-1)^n-1}{n^2\pi^2}.
Observação útil (simplificação): para n par, (-1)^n=1 e portanto a_n=0. Para n ímpar, (-1)^n=-1 e então a_n=\dfrac{-2}{n^2\pi^2}.

Passo 5

Cálculo de b_n para n\ge1. Começamos por
b_n=\int_{-1}^{1} f(x)\sin(n\pi x)\,dx=\int_{0}^{1}x\sin(n\pi x)\,dx.
Também usamos integração por partes: tome u=x e dv=\sin(n\pi x)\,dx. Então du=dx e v=-\dfrac{1}{n\pi}\cos(n\pi x). Assim
\int_{0}^{1}x\sin(n\pi x)\,dx =\left.-\frac{x}{n\pi}\cos(n\pi x)\right|_{0}^{1} +\int_{0}^{1}\frac{1}{n\pi}\cos(n\pi x)\,dx.
Calcule os termos separadamente. O segundo termo é
\int_{0}^{1}\frac{1}{n\pi}\cos(n\pi x)\,dx =\frac{1}{n\pi}\left.\frac{1}{n\pi}\sin(n\pi x)\right|_{0}^{1} =\frac{1}{n^2\pi^2}\bigl(\sin(n\pi)-0\bigr)=0.
Logo sobra apenas o termo de contorno:
\int_{0}^{1}x\sin(n\pi x)\,dx =-\frac{1}{n\pi}\cos(n\pi).
Usando \cos(n\pi)=(-1)^n obtemos
b_n=-\frac{(-1)^n}{n\pi}=\frac{(-1)^{n+1}}{n\pi}.
Portanto b_n é diferente de zero para todos n (com sinal alternado).

Passo 6

Resumo dos coeficientes encontrados:
a_0=\frac{1}{2},\qquad a_n=\frac{(-1)^n-1}{n^2\pi^2},\qquad b_n=\frac{(-1)^{n+1}}{n\pi},\quad n\ge1.
Com esses coeficientes, a série de Fourier geral é (lembrando \dfrac{a_0}{2}=\dfrac{1}{4}). Uma forma alternativa, mostrando que somente os cossenos de índice ímpar aparecem, é escrever a_n=0 para n par e a_{2m-1}=-\dfrac{2}{(2m-1)^2\pi^2}.

Resposta

f(x)=\frac{1}{4}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{(-1)^n-1}{n^2\pi^2}\cos(n\pi x)+\frac{(-1)^{n+1}}{n\pi}\sin(n\pi x)\right).

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