Nos Problemas 1-16, determine a série de Fourier de f no intervalo indicado. f(x)=\left\{\begin{array}{rr}0, & -1<x<0 \\\ x, & 0 \leq x<1\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá a função definida por partes no intervalo (-1,1)\):
\[f(x)=\begin{cases} 0, & -1<x<0,\\[4pt] x, & 0\le x<1. \end{cases}
A tarefa é determinar a série de Fourier de f\] no intervalo indicado (isto é, em \((-1,1), com extensão periódica de período 2).\n
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Domínio considerado para a expansão: -1<x<1 (logo L=1 e o período será 2).
A função é ímpar, par ou mista? Observando: f(-x) não é igual a -f(x) nem a f(x) de forma global (é mista), então a série terá termos em cosseno e seno em geral.
Pedimos a série de Fourier com as fórmulas padrão em (-L,L) com L=1.]
Passo 2
Recordando a forma padrão da série de Fourier para uma função com período 2L no intervalo (-L,L): para L=1,
a_0/2 é o termo médio (constante) da série; ele mede a média de f num período.
a_n multiplica \cos(n\pi x): mede a componente de cosseno de frequência n.
b_n multiplica \sin(n\pi x): mede a componente de seno de frequência n.
Como f(x)=0 em (-1,0) e f(x)=x em [0,1), todas as integrais sobre (-1,1) reduzem a integrais sobre (0,1).
Para resolver \int_{0}^{1}x\cos(n\pi x)\,dx usamos integração por partes. Escolhemos u=x e dv=\cos(n\pi x)\,dx. Então du=dx e v=\dfrac{1}{n\pi}\sin(n\pi x). Aplicando \int u\,dv = uv-\int v\,du:
Com esses coeficientes, a série de Fourier geral é (lembrando \dfrac{a_0}{2}=\dfrac{1}{4}). Uma forma alternativa, mostrando que somente os cossenos de índice ímpar aparecem, é escrever a_n=0 para n par e a_{2m-1}=-\dfrac{2}{(2m-1)^2\pi^2}.