Esboce a região limitada pelas curvas y=raiz9-x^2, y=0, x=1 e x=2. Em seguida calcule o volume do sólido gerado pela rotação dessa região em torno do eixo x . Esboce também o sólido gerado pela rotação.

Passo 1

O enunciado pede a região do plano limitada por
  • a curva y=raiz9-x^2 (semicírculo de raio 3),
  • o eixo x (reta y=0),
  • as retas verticais x=1 e x=2,
    e em seguida o volume do sólido gerado ao rotacionar essa região em torno do eixo x.
    Conteúdo: cálculo de volume de sólidos de revolução pelo método dos discos.

Passo 2

Para esboçar a região, note que y=raiz9-x^2 é a metade superior da circunferência de raio 3 centrada na origem. A região que interessa está sob esse arco, acima de y=0, e entre x=1 e x=2. O esboço no plano xy fica assim:
– Eixo x horizontal e eixo y vertical.
– Arco de circunferência entre os pontos (1,raiz8) e (2,raiz5).
– Retas verticais em x=1 e x=2 e a linha y=0.
Sombreie a “tira” que fica entre essas curvas.

Passo 3

Ao rotacionar em torno do eixo x, cada seção em x é um disco de raio
R(x)=ytopo=raiz9-x^2,
e raio interno zero. Pelo método dos discos, o volume é
V = integralx=1^x=2 pil[R(x)r]^2,dx = pi integral1^2 l(9 - x^2r),dx

Passo 4

Calcule a integral:
integral l(9 - x^2r),dx = 9x - x^33 + C
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V = pil[9x - tfracx^33r]1^2 = pil[l(18 - tfrac83r) - l(9 - tfrac13r)r] = pil(tfrac463 - tfrac263r) = 20pi3

Passo 5

O sólido de revolução é um “segmento esférico” de raio 3, cortado pelas planos x=1 e x=2.
Esboço do sólido:
– Revolva o arco y=raiz9-x^2 de x=1 a x=2 gerando a face externa esférica.
– As faces em x=1 e x=2 são discos de raio raiz9-1^2 e raiz9-2^2.
– A base em y=0 desaparece pois o disco interno tem raio zero.

Resposta

V = 20pi3

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