Esboce a região limitada pelas curvas
e
. Em seguida calcule o volume do sólido gerado pela rotação dessa região em torno do eixo x . Esboce também o sólido gerado pela rotação.
Passo 1
O enunciado pede a região do plano limitada por
- a curva
(semicírculo de raio ), - o eixo
(reta ), - as retas verticais
e ,
e em seguida o volume do sólido gerado ao rotacionar essa região em torno do eixo.
Conteúdo: cálculo de volume de sólidos de revolução pelo método dos discos.
Passo 2
Para esboçar a região, note que
é a metade superior da circunferência de raio
centrada na origem. A região que interessa está sob esse arco, acima de
, e entre
e
. O esboço no plano
fica assim:
– Eixo horizontal e eixo
vertical.
– Arco de circunferência entre os pontos e
.
– Retas verticais em e
e a linha
.
Sombreie a “tira” que fica entre essas curvas.
– Eixo
– Arco de circunferência entre os pontos
– Retas verticais em
Sombreie a “tira” que fica entre essas curvas.
Passo 3
Ao rotacionar em torno do eixo
, cada seção em
é um disco de raio
e raio interno zero. Pelo método dos discos, o volume é
Passo 4
Calcule a integral:
Logo
Passo 5
O sólido de revolução é um “segmento esférico” de raio
, cortado pelas planos
e
.
Esboço do sólido:
– Revolva o arco de
a
gerando a face externa esférica.
– As faces em e
são discos de raio
e
.
– A base em desaparece pois o disco interno tem raio zero.
Esboço do sólido:
– Revolva o arco
– As faces em
– A base em