Aplicar o critério de comparação para determinar a convergência ou não das seguintes séries numéricas de termos positivos:
sumn=1^infty 2 n-1n^2+1.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
sumn=1^infty 2n-1n^2+1
converge ou diverge, usando o critério de comparação para séries de termos positivos.

Passo 2

Para aplicar comparação direta, precisamos encontrar uma série mais simples, divergente, cujos termos sejam menores ou iguais aos da original. Note que, para todo n>=1,
n^2+1 ;<=; 2n^2,,
então
2n-1n^2+1 ;>=; 2n-12n^2

Passo 3

Agora simplificamos a fração à direita:
2n-12n^2 = 2n2n^2 ;-; 12n^2 = 1n ;-; 12n^2
E como para n>=1 vale
1n ;-; 12n^2 ;>=; 12n,
seguimos que
2n-1n^2+1 ;>=; 12n

Passo 4

A série
sumn=1^infty 12n = tfrac12sumn=1^infty1n
é a série harmônica (multiplicada por constante) e diverge. Como
2n-1n^2+1>=12n
e a série comparadora diverge, pela comparação direta a série original também diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty 2n-1n^2+1 diverge.

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