encontre o valor de k para que a equação diferencial dada seja exata.
(2 x-y sen x y+k y^4) d x-(20 x y^3+x sen x y) d y=0

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a equação
(2x - y sin(xy) + k y^4),dx ;-;(20x y^3 + x sin(xy)),dy ;=;0
e queremos encontrar o valor de k para que ela seja exata. O conteúdo é exatidão de equações diferenciais, que exige
partial Mpartial y ;=;partial Npartial x,
onde M(x,y) multiplica dx e N(x,y) multiplica dy.

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = 2x - y sin(xy) + k y^4,
N(x,y) = -l(20x y^3 + x sin(xy)r)
A condição de exatidão é
partial Mpartial y = partial Npartial x

Passo 3

Calculamos
partial Mpartial y = partialpartial yl(2x - ysin(xy) + k y^4r) = -sin(xy) - x ycos(xy) + 4k,y^3

Passo 4

Calculamos
partial Npartial x = partialpartial xl[-(20x y^3 + xsin(xy))r] = -l(20y^3 + sin(xy) + x ycos(xy)r) = -20y^3 - sin(xy) - x ycos(xy)

Passo 5

Igualando as derivadas para exatidão:
-sin(xy)-x ycos(xy)+4k,y^3 ;=; -20y^3-sin(xy)-x ycos(xy)
Cancelam-se os termos com sin(xy) e x ycos(xy), sobrando
4k,y^3 = -20,y^3 Longrightarrow 4k = -20 Longrightarrow k = -5

Resposta

k = -5

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