Esboce a região limitada pela função y=\sqrt{9-3 x} e x=-1. Calcule a área da região.

Passo 1

O enunciado dá a curva y=\sqrt{9-3x} e a reta vertical x=-1. Pede duas coisas: esboçar a região limitada por essas curvas e calcular a área dessa região. As informações relevantes fornecidas são exatamente essas duas curvas; devemos usar elas para identificar a região fechada e depois obter sua área.

Passo 2

Vamos entender onde a curva existe e quais arestas fecham a região (aqui estou apenas identificando pontos e interseções que vão nos dizer como a região é formada). A função y=\sqrt{9-3x} exige que o argumento da raiz seja não negativo, ou seja 9-3x\ge 0. Essa condição vai nos dizer até onde a curva vai no eixo x. Além disso, a curva é sempre não negativa ( y\ge 0), portanto ela pode encontrar o eixo x num ponto onde y=0. A reta x=-1 é uma fronteira vertical dada no enunciado; devemos ver onde ela intercepta a curva e como isso fecha a região junto com o eixo x.

Passo 3

Agora calculamos esses pontos e descrevemos o formato da curva (essa é a parte em que elaboramos o esboço).
A condição 9-3x\ge 0
9-3x\ge 0\implies x\le 3.
Logo a curva está definida para \,x\le 3, e atinge o eixo x quando y=0, isto é em
\sqrt{9-3x}=0\implies 9-3x=0\implies x=3.
Reescrevendo a equação ao quadrado obtemos a forma de uma parábola no plano:
y^2=9-3x\quad\Longrightarrow\quad x=3-\tfrac{1}{3}y^2,
que é uma parábola com vértice em (3,0) abrindo para a esquerda. A reta x=-1 intercepta a curva no ponto cuja ordenada é
y=\sqrt{9-3(-1)}=\sqrt{9+3}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}.
Portanto os pontos-chave para o esboço são ( -1,2\sqrt{3} ) (interseção curva com x=-1) e (3,0) (interseção curva com o eixo x). O esboço é a “meia-parábola” acima do eixo x entre x=-1 e x=3, com a reta vertical x=-1 fechando a esquerda e o eixo x fechando por baixo até x=3.

Passo 4

Agora identifiquemos formalmente a região cuja área queremos. A região é limitada por três fronteiras:
  1. a curva superior y=f(x)=\sqrt{9-3x} (para -1\le x\le 3),
  2. a reta vertical esquerda x=-1,
  3. o eixo x (linha y=0), que fecha a região à direita no ponto x=3 pois aí f(3)=0.
Para calcular a área de uma região entre duas curvas em termos de x usamos a fórmula
\text{área}=\int_{a}^{b}\bigl(\text{função superior}(x)-\text{função inferior}(x)\bigr)\,dx,áçãçã
onde a e b são as abscissas que limitam a região. Aqui a função superior é f(x)=\sqrt{9-3x} e a inferior é g(x)=0, com a=-1 e b=3. Vou explicar: integrar em x soma finas tiras verticais de largura dx; a altura de cada tira é a diferença f(x)-g(x).

Passo 5

Montamos o integral da área:
\text{Área}=\int_{x=-1}^{3}\sqrt{9-3x}\,dx.Á
Esse integral é do tipo \int \sqrt{ax+b}\,dx; uma forma prática de resolver é fazer a substituição linear que transforma a raiz numa potência simples.

Passo 6

Façamos a substituição. Tome u=9-3x. Então
du=-3\,dx\quad\Rightarrow\quad dx=-\tfrac{1}{3}\,du.
Quando x=-1 temos u=9-3(-1)=12. Quando x=3 temos u=9-3\cdot 3=0. Substituindo no integral,
\int_{x=-1}^{3}\sqrt{9-3x}\,dx=\int_{u=12}^{0}\sqrt{u}\left(-\tfrac{1}{3}\,du\right).
O fator negativo permite trocar os limites:
=\tfrac{1}{3}\int_{u=0}^{12} u^{1/2}\,du.
Agora integramos a potência: \int u^{1/2}\,du=\tfrac{u^{3/2}}{3/2}=\tfrac{2}{3}u^{3/2}. Portanto
\text{Área}=\tfrac{1}{3}\cdot\left[\tfrac{2}{3}u^{3/2}\right]_{0}^{12}=\tfrac{2}{9}\bigl(12^{3/2}-0\bigr).Á

Passo 7

Calculemos 12^{3/2}. Escrevemos 12^{3/2}=(\sqrt{12})^3=(2\sqrt{3})^3=8\cdot 3\sqrt{3}=24\sqrt{3}. Substituindo:
\text{Área}=\tfrac{2}{9}\cdot 24\sqrt{3}=\tfrac{48}{9}\sqrt{3}=\tfrac{16}{3}\sqrt{3}.Á
Como verificação numérica rápida, \tfrac{16}{3}\sqrt{3}\approx 9{,}237. Então a área exata é \tfrac{16}{3}\sqrt{3}.

Resposta

Região: a parte sob y=\sqrt{9-3x} entre x=-1 e x=3, fechada pela reta x=-1 à esquerda e pelo eixo y=0 à direita (pontos-chave (-1,2\sqrt{3}) e (3,0)).
Área: \displaystyle \frac{16}{3}\sqrt{3}

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