Esboce a região limitada pela função
e
. Calcule a área da região.
Passo 1
O enunciado dá a curva
e a reta vertical
. Pede duas coisas: esboçar a região limitada por essas curvas e calcular a área dessa região. As informações relevantes fornecidas são exatamente essas duas curvas; devemos usar elas para identificar a região fechada e depois obter sua área.
Passo 2
Vamos entender onde a curva existe e quais arestas fecham a região (aqui estou apenas identificando pontos e interseções que vão nos dizer como a região é formada). A função
exige que o argumento da raiz seja não negativo, ou seja
. Essa condição vai nos dizer até onde a curva vai no eixo
. Além disso, a curva é sempre não negativa (
), portanto ela pode encontrar o eixo
num ponto onde
. A reta
é uma fronteira vertical dada no enunciado; devemos ver onde ela intercepta a curva e como isso fecha a região junto com o eixo
.
Passo 3
Agora calculamos esses pontos e descrevemos o formato da curva (essa é a parte em que elaboramos o esboço).
A condição dá
A condição
Logo a curva está definida para
, e atinge o eixo
quando
, isto é em
Reescrevendo a equação ao quadrado obtemos a forma de uma parábola no plano:
que é uma parábola com vértice em
abrindo para a esquerda. A reta
intercepta a curva no ponto cuja ordenada é
Portanto os pontos-chave para o esboço são
(interseção curva com
) e
(interseção curva com o eixo
). O esboço é a “meia-parábola” acima do eixo
entre
e
, com a reta vertical
fechando a esquerda e o eixo
fechando por baixo até
.
Passo 4
Agora identifiquemos formalmente a região cuja área queremos. A região é limitada por três fronteiras:
- a curva superior
(para ), - a reta vertical esquerda
, - o eixo
(linha ), que fecha a região à direita no ponto pois aí .
Para calcular a área de uma região entre duas curvas em termos de
usamos a fórmula
onde
e
são as abscissas que limitam a região. Aqui a função superior é
e a inferior é
, com
e
. Vou explicar: integrar em
soma finas tiras verticais de largura
; a altura de cada tira é a diferença
.
Passo 5
Montamos o integral da área:
Esse integral é do tipo
; uma forma prática de resolver é fazer a substituição linear que transforma a raiz numa potência simples.
Passo 6
Façamos a substituição. Tome
. Então
Quando
temos
. Quando
temos
. Substituindo no integral,
O fator negativo permite trocar os limites:
Agora integramos a potência:
. Portanto
Passo 7
Calculemos
. Escrevemos
. Substituindo:
Como verificação numérica rápida,
. Então a área exata é
.
Resposta
Região: a parte sob
entre
e
, fechada pela reta
à esquerda e pelo eixo
à direita (pontos-chave
e
).
Área:
Área: