Resolva as integrais. \int_{0}^{\pi} 7 \sin ^{5} x \cos x d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi} 7 \sin^{5}x \cos x \, dx.
Informações fornecidas: o integrando é 7 \sin^{5}x \cos x e o intervalo de integração é [0,\pi]. Não há outras condições ou parâmetros.
Passo 2
Observação útil antes de começar a operar: vemos o fator \cos x multiplicando uma potência de \sin x. Quando temos uma potência de uma função e o fator que aparece é a derivada dessa função, uma técnica muito direta e segura é a substituição. Vou explicar essa técnica com calma agora.
Passo 3
Definimos a substituição
u = \sin x.
Aqui u é uma nova variável que representa o valor de \sin x. Diferenciando ambos os lados em relação a x obtemos
du = \cos x \, dx.
Isto significa que sempre que tivermos \cos x \, dx podemos trocar por du. Também precisamos transformar os limites de integração: quando x=0 temos u=\sin 0=0; quando x=\pi temos u=\sin\pi=0. Portanto os novos limites são de u=0 até u=0.
Passo 4
Substituindo na integral original, obtemos
\int_{0}^{\pi} 7 \sin^{5}x \cos x \, dx = 7 \int_{u=0}^{u=0} u^{5} \, du.
Agora explico o passo seguinte: a primitiva de u^{5} é \dfrac{u^{6}}{6}, porque ao derivar \dfrac{u^{6}}{6} obtemos u^{5} (regra do expoente). Assim uma antiderivada do integrando em u é 7\cdot \dfrac{u^{6}}{6}.
Passo 5
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, avaliamos a antiderivada nos limites transformados:
Aqui substituí de volta u=\sin x para ficar explícito em termos de x. Note que usamos que u=\sin x para escrever u^{6}=\sin^{6}x.
Passo 6
Comentário didático e atencioso: normalmente uma integral com limites iguais (a mesma extremidade inferior e superior) tem valor zero, pois a integral sobre um intervalo de comprimento zero é zero. Por isso a expressão acima dá resultado final nulo. Outra forma alternativa e ainda mais direta (que vale para a prova) é reconhecer que
portanto o integrando é \dfrac{7}{6} vezes essa derivada e a integral se reduz imediatamente a \dfrac{7}{6}[\sin^{6}x]_{0}^{\pi}, que leva à mesma expressão que encontramos.