(3 pontos- Extras) Esboce a região limitada pelas curvas
e
e determine a área entre as curvas.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: esboçar a região limitada pelas curvas
,
e
e determinar a área dessa região.
As informações dadas são exatamente as três expressões das retas. Para encontrar a região limitada por elas precisamos descobrir onde elas se intersectam (os vértices da região) e então calcular a área fechada por esses três pontos de interseção.
As informações dadas são exatamente as três expressões das retas. Para encontrar a região limitada por elas precisamos descobrir onde elas se intersectam (os vértices da região) e então calcular a área fechada por esses três pontos de interseção.
Passo 2
Vamos encontrar as interseções duas a duas resolvendo equações lineares. Sempre que igualamos duas funções de
procuramos os valores de
onde elas têm o mesmo
.
Interseção entre
e
: resolvemos
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar a fração:
Isolando
: somamos
e subtraímos
dos dois lados
Calculamos
com qualquer das retas, por exemplo
:
Logo há uma interseção em
.
Passo 3
Interseção entre
e
: resolvemos
Subtraindo
dos dois lados:
Multiplicando por
:
Então
Interseção em
.
Passo 4
Interseção entre
e
: resolvemos
Somando
e somando
aos dois lados:
Calculando
usando
:
Interseção em
.
Resumo dos vértices obtidos:
,
e
.
Passo 5
Vamos entender como é o esboço (como desenhar rápido e certo no rascunho da prova). Para cada reta é útil anotar coeficiente angular (inclinação) e intercepto:
- Para
: intercepto em é ( ), inclinação (reta sobe devagar). - Para
: intercepto em também é ( ), inclinação (reta decrescente). - Para
: intercepto em é ( ), inclinação (reta sobe rápido).
Como
e
se encontram em
, ambas passam por esse ponto;
desce a partir daí,
sobe lentamente;
está muito abaixo no
-intercepto (
) e sobe rapidamente, encontrando
em
e
em
. Esses três pontos formam um triângulo. No rascunho da prova você marca os três pontos e liga por linhas retas (cada lado é um trecho de uma das retas dadas).
Passo 6
Agora escolheremos o método para calcular a área. Como as curvas são retas e os vértices formam um triângulo, o caminho mais direto é usar a fórmula do determinante (fórmula de Gauss / “shoelace”) ou usar geometria básica. Vou usar a fórmula “shoelace” porque é rápida e sistemática para polígonos dados por coordenadas; depois confirmo o resultado por integração (método do conteúdo “área entre curvas”) para você ver os dois jeitos.
Explicando a fórmula “shoelace”: para um triângulo com vértices
,
,
ordenados circularmente, a área é
Aqui cada termo é um produto coordenada vezes coordenada de um vértice vizinho; a fórmula dá o valor absoluto do “semidet” que representa a área dupla.
Passo 7
Aplicando a fórmula “shoelace” às coordenadas (escolhendo a ordem
,
,
):
Calculemos primeiro
:
Agora
:
A diferença é
Portanto a área é
Passo 8
Como verificação alternativa — e para te ensinar o método de integração que aparece sempre em provas — vamos calcular a mesma área integrando a diferença entre a função de cima e a função de baixo em cada intervalo de
. Observando os vértices, a região ocupa
de
a
, mas a topologia muda em
(há troca de quais retas são superior/inferior). Precisamos identificar, para cada subintervalo, qual é a reta superior (maior
) e qual é a inferior (menor
).
- No intervalo
: as retas envolvidas são e . Compare e :
Logo
está por cima e
por baixo nesse intervalo. A contribuição de área é
Calculando:
- No intervalo
: as retas que limitam são (superior) e (inferior) — verificamos por exemplo em : e , então . A contribuição de área é
Simplificando o integrando:
Então
Calculando nos limites:
Diferença:
.
Somando as duas contribuições
, confirma o resultado obtido pela fórmula geométrica.
Passo 9
Conclusão: a região limitada pelas três retas é um triângulo de vértices
,
e
e sua área é
unidades de área.
Resposta
Esboço: Região triangular com vértices em
,
e
.\nÁrea: