(3 pontos- Extras) Esboce a região limitada pelas curvas f(x)= -3+\frac{x}{2}, h(x)=-9+2 x e g(x)=-3-x e determine a área entre as curvas.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: esboçar a região limitada pelas curvas f(x)=-3+\dfrac{x}{2}, h(x)=-9+2x e g(x)=-3-x e determinar a área dessa região.
As informações dadas são exatamente as três expressões das retas. Para encontrar a região limitada por elas precisamos descobrir onde elas se intersectam (os vértices da região) e então calcular a área fechada por esses três pontos de interseção.

Passo 2

Vamos encontrar as interseções duas a duas resolvendo equações lineares. Sempre que igualamos duas funções de x procuramos os valores de x onde elas têm o mesmo y.
Interseção entre f e h: resolvemos
-3+\dfrac{x}{2} = -9 + 2x.
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar a fração:
-6 + x = -18 + 4x.
Isolando x: somamos 18 e subtraímos x dos dois lados
-6 + 18 = 4x - x \quad\Rightarrow\quad 12 = 3x \quad\Rightarrow\quad x = 4.
Calculamos y com qualquer das retas, por exemplo f:
y = -3 + \dfrac{4}{2} = -3 + 2 = -1.
Logo há uma interseção em \,(4,-1).

Passo 3

Interseção entre f e g: resolvemos
-3+\dfrac{x}{2} = -3 - x.
Subtraindo -3 dos dois lados:
\dfrac{x}{2} = -x.
Multiplicando por 2:
x = -2x \quad\Rightarrow\quad 3x = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 0.
Então
y = -3 + \dfrac{0}{2} = -3.
Interseção em \,(0,-3).

Passo 4

Interseção entre g e h: resolvemos
-3 - x = -9 + 2x.
Somando 9 e somando x aos dois lados:
6 = 3x \quad\Rightarrow\quad x = 2.
Calculando y usando g:
y = -3 - 2 = -5.
Interseção em \,(2,-5).
Resumo dos vértices obtidos: \,(0,-3), \,(2,-5) e \,(4,-1).

Passo 5

Vamos entender como é o esboço (como desenhar rápido e certo no rascunho da prova). Para cada reta é útil anotar coeficiente angular (inclinação) e intercepto:
  • Para f(x)=-3+\dfrac{x}{2}: intercepto em y é -3 ( f(0)=-3), inclinação \dfrac{1}{2} (reta sobe devagar).
  • Para g(x)=-3-x: intercepto em y também é -3 ( g(0)=-3), inclinação -1 (reta decrescente).
  • Para h(x)=-9+2x: intercepto em y é -9 ( h(0)=-9), inclinação 2 (reta sobe rápido).
Como f e g se encontram em (0,-3), ambas passam por esse ponto; g desce a partir daí, f sobe lentamente; h está muito abaixo no y-intercepto ( -9) e sobe rapidamente, encontrando g em (2,-5) e f em (4,-1). Esses três pontos formam um triângulo. No rascunho da prova você marca os três pontos e liga por linhas retas (cada lado é um trecho de uma das retas dadas).

Passo 6

Agora escolheremos o método para calcular a área. Como as curvas são retas e os vértices formam um triângulo, o caminho mais direto é usar a fórmula do determinante (fórmula de Gauss / “shoelace”) ou usar geometria básica. Vou usar a fórmula “shoelace” porque é rápida e sistemática para polígonos dados por coordenadas; depois confirmo o resultado por integração (método do conteúdo “área entre curvas”) para você ver os dois jeitos.
Explicando a fórmula “shoelace”: para um triângulo com vértices \,(x_1,y_1), \,(x_2,y_2), \,(x_3,y_3) ordenados circularmente, a área é
\text{Área} = \dfrac{1}{2}\left| x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_1 - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_1)\right|.Á
Aqui cada termo é um produto coordenada vezes coordenada de um vértice vizinho; a fórmula dá o valor absoluto do “semidet” que representa a área dupla.

Passo 7

Aplicando a fórmula “shoelace” às coordenadas (escolhendo a ordem (0,-3), (2,-5), (4,-1)):
Calculemos primeiro x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_1:
0\cdot(-5) + 2\cdot(-1) + 4\cdot(-3) = 0 - 2 - 12 = -14.
Agora y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_1:
(-3)\cdot 2 + (-5)\cdot 4 + (-1)\cdot 0 = -6 - 20 + 0 = -26.
A diferença é
-14 - (-26) = -14 + 26 = 12.
Portanto a área é
\text{Área} = \dfrac{1}{2}\cdot |12| = 6.Á

Passo 8

Como verificação alternativa — e para te ensinar o método de integração que aparece sempre em provas — vamos calcular a mesma área integrando a diferença entre a função de cima e a função de baixo em cada intervalo de x. Observando os vértices, a região ocupa x de 0 a 4, mas a topologia muda em x=2 (há troca de quais retas são superior/inferior). Precisamos identificar, para cada subintervalo, qual é a reta superior (maior y) e qual é a inferior (menor y).
  • No intervalo 0 \le x \le 2: as retas envolvidas são f e g. Compare f(x) e g(x):
f(x)-g(x) = \left(-3+\dfrac{x}{2}\right) - (-3 - x) = \dfrac{x}{2} + x = \dfrac{3x}{2} \ge 0 \text{ para } x\ge 0.
Logo f está por cima e g por baixo nesse intervalo. A contribuição de área é
\int_{0}^{2} \bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx = \int_{0}^{2} \dfrac{3x}{2}\,dx.
Calculando:
\int_{0}^{2} \dfrac{3x}{2}\,dx = \dfrac{3}{2}\cdot \left[\dfrac{x^2}{2}\right]_{0}^{2} = \dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{4}{2} = \dfrac{3}{2}\cdot 2 = 3.
  • No intervalo 2 \le x \le 4: as retas que limitam são f (superior) e h (inferior) — verificamos por exemplo em x=3: f(3)=-3+1,5=-1,5 e h(3)=-9+6=-3, então f>h. A contribuição de área é
\int_{2}^{4} \bigl(f(x)-h(x)\bigr)\,dx = \int_{2}^{4} \left(\left(-3+\dfrac{x}{2}\right) - (-9+2x)\right)\,dx.
Simplificando o integrando:
\left(-3+\dfrac{x}{2}\right) - (-9+2x) = -3 + \dfrac{x}{2} + 9 - 2x = 6 - \dfrac{3x}{2}.
Então
\int_{2}^{4} \left(6 - \dfrac{3x}{2}\right)\,dx = \left[6x - \dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{x^2}{2}\right]_{2}^{4} = \left[6x - \dfrac{3x^2}{4}\right]_{2}^{4}.
Calculando nos limites:
\text{em } x=4:\\\ 6\cdot 4 - \dfrac{3\cdot 16}{4} = 24 - 12 = 12.
\text{em } x=2:\\\ 6\cdot 2 - \dfrac{3\cdot 4}{4} = 12 - 3 = 9.
Diferença: 12 - 9 = 3.
Somando as duas contribuições 3 + 3 = 6, confirma o resultado obtido pela fórmula geométrica.

Passo 9

Conclusão: a região limitada pelas três retas é um triângulo de vértices \,(0,-3), \,(2,-5) e \,(4,-1) e sua área é 6 unidades de área.

Resposta

Esboço: Região triangular com vértices em (0,-3), (2,-5) e (4,-1).\nÁrea: 6

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