Esboce o gráfico da função z=f(x, y) dada por:
f(x, y)=16-x^2-y^2

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico de z = f(x,y) = 16 - x² - y². Esse conteúdo cai em superfícies quádricas, mais especificamente em paraboloides. Pra fazer o desenho, a gente vai precisar identificar o vértice, a concavidade, as curvas de nível e algumas seções transversais.

Passo 2

Note que f(x,y)=16−x²−y² tem a forma z = z₀ − (x² + y²). Isso caracteriza um paraboloide elíptico invertido (abre para baixo). O vértice ocorre onde x=0 e y=0, logo z = 16, ou seja, no ponto (0,0,16).
Para desenhar melhor, usamos curvas de nível z = k constantes. Substituindo k em 16 − x² − y² = k, obtemos x² + y² = 16 − k. São círculos no plano xy de raio √(16−k), que vão crescendo conforme k diminui.

Passo 3

Outra forma de visualizar é olhar cortes: se fixamos y=0, ficamos com z = 16 − x², que é uma parábola no plano xz com vértice em (0,16). Do mesmo jeito, fixando x=0 temos z = 16 − y² no plano yz.
Juntando as curvas de nível (círculos no plano xy) e as parábolas dos cortes, concluímos que o esboço é um “chapéu” invertido: um paraboloide elíptico com ápice em (0,0,16), simétrico em torno do eixo z e abrindo para baixo.

Resposta

Paraboloide elíptico voltado para baixo, vértice em (0,0,16), simétrico em torno do eixo z, com curvas de nível definidas por x^2 + y^2 = 16 - z.

Exercícios relacionados