Resolva as integrais duplas
\int_{0}^{2} \int_{y^{2}}^{2 y}(4 x-y) d x d y

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
\int_{0}^{2}\int_{y^2}^{2y}(4x - y)\,dx\,dy.
O conteúdo envolve aplicar a antiderivada em x primeiro e depois integrar em y.

Passo 2

Calcular a integral interna em x:
\int_{y^2}^{2y}(4x - y)\,dx = \left[2x^2 - yx\right]_{x=y^2}^{x=2y} = \bigl(2\,(2y)^2 - y\,(2y)\bigr)\;-\;\bigl(2\,(y^2)^2 - y\,(y^2)\bigr).
Fazendo as contas:
2\cdot4y^2 - 2y^2 \;-\;\bigl(2y^4 - y^3\bigr) = 8y^2 -2y^2 -2y^4 + y^3 = 6y^2 + y^3 - 2y^4.

Passo 3

Agora integramos em y:
\int_{0}^{2}\bigl(6y^2 + y^3 - 2y^4\bigr)\,dy = \left[2y^3 + \tfrac{y^4}{4} - \tfrac{2y^5}{5}\right]_{0}^{2}.

Passo 4

Avaliar em y=2:
2\cdot8 + \frac{16}{4} - \frac{2\cdot32}{5} = 16 + 4 - \frac{64}{5} = 20 - \frac{64}{5} = \frac{100 - 64}{5} = \frac{36}{5}.

Resposta

\tfrac{36}{5}

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