Esboce o sólido do primeiro octante limitado pelo gráficos das equações dadas, e calcule o seu volume
Passo 1
O enunciado pede para esboçar e calcular o volume do sólido no primeiro octante (isto é, com
,
,
) limitado pelas superfícies
O conteúdo chave é o cálculo de volume por integração tripla, projetando o sólido no plano
e depois integrando em
.
Passo 2
Para entender a região projetada no plano
, note que as paredes laterais são dadas por
e por
. Como estamos no primeiro octante, também temos
. O encontro de
com
ocorre em
. Logo, a projeção
é o conjunto
O sólido fica acima de
e entre o plano inferior
e a superfície superior
.
Passo 3
Escrevemos o volume
como integral tripla em coordenadas cartesianas:
Substituindo os limites de
de
a
e de
de
a
, temos
Passo 4
Primeiro integramos em
:
Então o volume fica
Como
não depende de
, fazemos a integral em
:
Por fim, integramos em
:
Resposta
O volume do sólido é
.