Esboce o sólido do primeiro octante limitado pelo gráficos das equações dadas, e calcule o seu volume
z=x^{3}, y=x, y=1, z=0

Passo 1

O enunciado pede para esboçar e calcular o volume do sólido no primeiro octante (isto é, com x\ge0, y\ge0, z\ge0) limitado pelas superfícies
z = x^{3},\quad z = 0,\quad y = x,\quad y = 1.
O conteúdo chave é o cálculo de volume por integração tripla, projetando o sólido no plano xy e depois integrando em z.

Passo 2

Para entender a região projetada no plano xy, note que as paredes laterais são dadas por y=x e por y=1. Como estamos no primeiro octante, também temos x\ge0. O encontro de y=x com y=1 ocorre em x=1. Logo, a projeção R é o conjunto
R = \bigl\{(x,y)\mid 0 \le x \le 1,\; x \le y \le 1\bigr\}.
O sólido fica acima de R e entre o plano inferior z=0 e a superfície superior z=x^3.

Passo 3

Escrevemos o volume V como integral tripla em coordenadas cartesianas:
V = \iiint_{D} dV = \iint_{R}\Bigl(\int_{z=0}^{z=x^3}dz\Bigr)\,dA.
Substituindo os limites de y de x a 1 e de x de 0 a 1, temos
V = \int_{x=0}^{1}\int_{y=x}^{1}\int_{z=0}^{x^3}dz\,dy\,dx.

Passo 4

Primeiro integramos em z:
\int_{z=0}^{x^3}dz = x^3.
Então o volume fica
V = \int_{0}^{1}\int_{x}^{1} x^3 \,dy\,dx.
Como x^3 não depende de y, fazemos a integral em y:
\int_{y=x}^{1} x^3\,dy = x^3\bigl(1 - x\bigr).
Por fim, integramos em x:
V = \int_{0}^{1} x^3(1 - x)\,dx = \int_{0}^{1}\bigl(x^3 - x^4\bigr)\,dx = \Bigl[\tfrac{x^4}{4} - \tfrac{x^5}{5}\Bigr]_{0}^{1} = \tfrac{1}{4} - \tfrac{1}{5} = \tfrac{1}{20}.

Resposta

O volume do sólido é \tfrac{1}{20}.

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