Esboce a região mathcalR do plano R^2 dada abaixo e determine sua fronteira. Classifique R em: aberto (A), fechado (F), limitado (L), compacto (K), ou conexo (C).
1.1A
R=(x, y) in R^2 ;|x| <= 1,0 <= y

Passo 1

O enunciado define a região
R=(x,y)inR^2 mid |x|<=1,;0<= y.
Precisamos esboçar R, encontrar sua fronteira partialR e classificar a região quanto a aberto (A), fechado (F), limitado (L), compacto (K) e conexo (C).

Passo 2

Para esboçar R, note que
– a condição |x|<=1 é a faixa vertical entre as retas x=-1 e x=1, incluindo-as;
– a condição y>=0 é o semiplano acima (e sobre) o eixo x.
Logo R é a faixa vertical limitada em x mas extendida para cima em y.

Passo 3

A fronteira de R são os pontos que “toque” o contorno da faixa ou o eixo y=0. Assim
partialR =(x,y)mid |x|=1,;y>=0 ;cup;(x,0)mid |x|<=1

Passo 4

R não é aberta, pois inclui as retas x=pm1 e o eixo y=0.
– Como R=,|x|<=1cap,y>=0 e ambos os conjuntos são fechados, R é fechada.

Passo 5

– A direção yto+infty não é limitada, então R não é limitada.
– Em R^2, compacto iff fechado e limitado, logo R não é compacta.

Passo 6

R é interseção de dois conjuntos convexos, portanto é convexa e, em particular, conexa.

Resposta

Fronteira:
partialR =(x,y)mid |x|=1,;y>=0 cup (x,0)mid |x|<=1
Classificação:
fechada (F), não limitada, não compacta, conexa (C).

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