Exercício 12 (D.L.5.21)

(a) Obtenha a expressão cartesiana do campo de vetores f: R^2 R^2 que corresponde, em coordenadas polares, ao sistema
c theta^prime=1 r^prime=psi(r)
onde psi(0)=0 e, para r>0, psi(r)=r^2 sen(1r).
(b) Mostre que em cada vizinhança da origem existe uma órbita periódica de f envolvendo a origem.
(c) Mostre que a origem é um ponto de equilíbrio estável para f.

Passo 1

O enunciado dá um sistema em coordenadas polares
theta' ;=; 1, r' ;=;psi(r),
com psi(0)=0 e, para r>0,
psi(r)=r^2sin!l(tfrac1rr)
O conteúdo aqui é mudança de coordenadas polares para cartesianas (parte (a)), depois identificar órbitas periódicas definidas pelas raízes de psi (parte (b)) e, por fim, mostrar estabilidade do ponto r=0 usando a existência dessas órbitas invariante (parte (c)).

Passo 2

Para passar a um campo f(x,y)=(x',y') em coordenadas cartesianas usamos
x = rcostheta, y = rsintheta
Então
x' = r'costheta ;-;r,theta'sintheta = psi(r)costheta ;-;rsintheta,
y' = r'sintheta ;+;r,theta'costheta = psi(r)sintheta ;+;rcostheta
Como r=raizx^2+y^2 e costheta=x/r, sintheta=y/r, obtemos
f(x,y)=l(psil(raizx^2+y^2r),xraizx^2+y^2 ;-;!y,; psil(raizx^2+y^2r),yraizx^2+y^2 ;+;xr)

Passo 3

As órbitas periódicas vêm das soluções com r'=0 mas theta'=1. Logo
r^2sin!l(tfrac1rr)=0 Longrightarrow sin!l(tfrac1rr)=0 Longrightarrow tfrac1r = kpi, kinN
Assim
rk = 1kpi
define o círculo r=rk onde r'equiv0 e theta'=1, ou seja cada ponto gira uniformemente com período 2pi. São, portanto, órbitas periódicas de f.

Passo 4

Como rk=1/(kpi)to0 quando ktoinfty, esses círculos periódicos r=rk se aproximam arbitrariamente da origem. Dado qualquer raio varepsilon>0, escolha k grande tal que rk<varepsilon. Então o círculo r=rk é uma órbita periódica contida na bola de raio varepsilon. Isso prova (b).

Passo 5

Para mostrar estabilidade de r=0, notamos que cada círculo r=rk com k par ou ímpar é uma curva invariante que não pode ser cruzada pelos fluxos: se r(0)<= rk, então r(t)<= rk para todo t>=0, pois em r=rk temos psi(rk)=0 e o vetor radial é tangente à fronteira ou apontando para dentro. Dado varepsilon>0, escolha k tal que rk<varepsilon e ponha de<a=rk. Assim, se raizx(0)^2+y(0)^2<de<a, então raizx(t)^2+y(t)^2=r(t)<= rk=de<a<varepsilon para todo t>=0. Isso mostra que a origem é estável (Lyapunov), concluindo (c).

Resposta

(a)
f(x,y)=l(psil(raizx^2+y^2r),xraizx^2+y^2-y,; psil(raizx^2+y^2r),yraizx^2+y^2+xr)
(b) As circunferências
rk=1/(kpi) são órbitas periódicas de período 2pi e rkto0.
(c) A fronteira r=rk é invariante para r(0)<= rk, logo, escolhendo k grande com rk<varepsilon e de<a=rk, garante-se que soluções com r(0)<de<a permanecem em r<varepsilon, provando a estabilidade da origem.

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