Exercício 12 (D.L.5.21)
(a) Obtenha a expressão cartesiana do campo de vetores
que corresponde, em coordenadas polares, ao sistema
onde
e, para
.
(b) Mostre que em cada vizinhança da origem existe uma órbita periódica de
envolvendo a origem.
(c) Mostre que a origem é um ponto de equilíbrio estável para
.
(b) Mostre que em cada vizinhança da origem existe uma órbita periódica de
(c) Mostre que a origem é um ponto de equilíbrio estável para
Passo 1
O enunciado dá um sistema em coordenadas polares
com
e, para
,
O conteúdo aqui é mudança de coordenadas polares para cartesianas (parte (a)), depois identificar órbitas periódicas definidas pelas raízes de
(parte (b)) e, por fim, mostrar estabilidade do ponto
usando a existência dessas órbitas invariante (parte (c)).
Passo 2
Para passar a um campo
em coordenadas cartesianas usamos
Então
Como
e
, obtemos
Passo 3
As órbitas periódicas vêm das soluções com
mas
. Logo
Assim
define o círculo
onde
e
, ou seja cada ponto gira uniformemente com período
. São, portanto, órbitas periódicas de
.
Passo 4
Como
quando
, esses círculos periódicos
se aproximam arbitrariamente da origem. Dado qualquer raio
, escolha
grande tal que
. Então o círculo
é uma órbita periódica contida na bola de raio
. Isso prova (b).
Passo 5
Para mostrar estabilidade de
, notamos que cada círculo
com
par ou ímpar é uma curva invariante que não pode ser cruzada pelos fluxos: se
, então
para todo
, pois em
temos
e o vetor radial é tangente à fronteira ou apontando para dentro. Dado
, escolha
tal que
e ponha
. Assim, se
, então
para todo
. Isso mostra que a origem é estável (Lyapunov), concluindo (c).
Resposta
(a)
(b) As circunferências
são órbitas periódicas de período
e
.
(c) A fronteira é invariante para
, logo, escolhendo
grande com
e
, garante-se que soluções com
permanecem em
, provando a estabilidade da origem.
(c) A fronteira