Esboce a região
do plano
dada abaixo e determine sua fronteira. Classifique
em: aberto (A), fechado (F), limitado (L), compacto (K), ou conexo (C).
1.1A
1.1A
Passo 1
O enunciado define a região
.
Aqui vamos usar geometria no plano: a condição descreve círculos centrados na origem. Precisamos entender o formato (esboço), achar a fronteira e verificar propriedades topológicas (aberto, fechado, limitado, conexo e compacto).
Aqui vamos usar geometria no plano: a condição
Passo 2
Para esboçar
, notamos que
- a curva
é a circunferência de raio , - a curva
é a circunferência de raio .
A desigualdadesignifica que é o anel circular compreendido estritamente fora da circunferência de raio (não inclui essa fronteira interna) e até a circunferência de raio (inclui essa fronteira externa).
Passo 3
A fronteira
de um conjunto em
é o fecho menos o interior, mas geometricamente coincide com as curvas limites que ficam \textlangle{}entre dentro e fora\textrangle{}. Aqui
Passo 4
Verificamos se
é aberto, fechado e limitado:
- Aberto? Não, pois não contém todos os seus pontos de fronteira: inclui a circunferência de raio
mas não inclui a de raio . - Fechado? Também não, porque não contém a fronteira interna
. - Limitado? Sim, pois
está contido no disco de raio , logo é limitado.
Passo 5
Verificamos conexidade e compacidade:
- Conexo? Sim, um anel circular sem \textlangle{}buracos\textrangle{} adicionais é conexo em
. - Compacto? Não, pois em
compactação exige ser fechado e limitado; aqui falta ser fechado.