Esboce a região mathcalR do plano R^2 dada abaixo e determine sua fronteira. Classifique R em: aberto (A), fechado (F), limitado (L), compacto (K), ou conexo (C).
1.1A
R=(x, y) in R^2 ; 1<x^2+y^2 <= 2

Passo 1

O enunciado define a região
R = (x,y)inR^2 mid 1 < x^2+y^2 <= 2.
Aqui vamos usar geometria no plano: a condição x^2+y^2=r^2 descreve círculos centrados na origem. Precisamos entender o formato (esboço), achar a fronteira e verificar propriedades topológicas (aberto, fechado, limitado, conexo e compacto).

Passo 2

Para esboçar R, notamos que
  • a curva x^2+y^2=1 é a circunferência de raio 1,
  • a curva x^2+y^2=2 é a circunferência de raio raiz2.
    A desigualdade 1<r^2<=2 significa que R é o anel circular compreendido estritamente fora da circunferência de raio 1 (não inclui essa fronteira interna) e até a circunferência de raio raiz2 (inclui essa fronteira externa).

Passo 3

A fronteira partialR de um conjunto em R^2 é o fecho menos o interior, mas geometricamente coincide com as curvas limites que ficam \textlangle{}entre dentro e fora\textrangle{}. Aqui
partialR =(x,y)mid x^2+y^2=1;cup;(x,y)mid x^2+y^2=2

Passo 4

Verificamos se R é aberto, fechado e limitado:
  • Aberto? Não, pois não contém todos os seus pontos de fronteira: inclui a circunferência de raio raiz2 mas não inclui a de raio 1.
  • Fechado? Também não, porque não contém a fronteira interna x^2+y^2=1.
  • Limitado? Sim, pois R está contido no disco de raio raiz2, logo é limitado.

Passo 5

Verificamos conexidade e compacidade:
  • Conexo? Sim, um anel circular sem \textlangle{}buracos\textrangle{} adicionais é conexo em R^2.
  • Compacto? Não, pois em R^2 compactação exige ser fechado e limitado; aqui falta ser fechado.

Resposta

R não é aberto, não é fechado, é limitado (L), não é compacto (K) e é conexo (C).

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