Exercício 1 (D.L.2.1)
Seja
e considere a equação
. Mostre que
é sempre solução da equação. Mostre que se
e
são soluções desta equação, então para qualquer
também é solução da equação.
Seja
Passo 1
O enunciado trata da equação diferencial linear homogênea de primeira ordem
onde
é matriz constante e
. Vamos mostrar que
é solução e que, se
e
são soluções, então qualquer combinação linear
(com
) também o é. Para isso, usaremos a linearidade da derivada e da multiplicação de matrizes por vetores.
Passo 2
Escolhendo
(o vetor zero em
), sua derivada é
e a multiplicação por
também dá
Logo,
o que mostra que
satisfaz a equação diferencial.
Passo 3
Sejam
e
soluções, isto é,
Definimos
com
. Usando a linearidade da derivada,
Portanto,
satisfaz a mesma equação diferencial.
Resposta
Mostramos que
é solução e que a combinação linear
de quaisquer soluções
(com
) também é solução de
.