Exercício 1 (D.L.2.1)
Seja A in Mn(R) e considere a equação x^prime(t)=A x(t). Mostre que x equiv 0 é sempre solução da equação. Mostre que se x1 e x2 são soluções desta equação, então para qualquer c in R, x1+c x2 também é solução da equação.

Passo 1

O enunciado trata da equação diferencial linear homogênea de primeira ordem
x'(t)=A,x(t),
onde Ain Mn(R) é matriz constante e x(t)inR^n. Vamos mostrar que x(t)equiv0 é solução e que, se x1 e x2 são soluções, então qualquer combinação linear x1+c,x2 (com cinR) também o é. Para isso, usaremos a linearidade da derivada e da multiplicação de matrizes por vetores.

Passo 2

Escolhendo x(t)equiv0 (o vetor zero em R^n), sua derivada é
x'(t)=0,
e a multiplicação por A também dá
A,x(t)=Acdot 0=0
Logo,
x'(t)=0=A,x(t),
o que mostra que xequiv0 satisfaz a equação diferencial.

Passo 3

Sejam x1(t) e x2(t) soluções, isto é,
x1'(t)=A,x1(t), x2'(t)=A,x2(t)
Definimos
x(t)=x1(t)+c,x2(t),
com cinR. Usando a linearidade da derivada,
x'(t)=x1'(t)+c,x2'(t) = A,x1(t)+c,A,x2(t) = Al(x1(t)+c,x2(t)r) = A,x(t)
Portanto, x(t)=x1(t)+c,x2(t) satisfaz a mesma equação diferencial.

Resposta

Mostramos que xequiv0 é solução e que a combinação linear x1+c,x2 de quaisquer soluções x1,x2 (com cinR) também é solução de x'=A,x.

Exercícios relacionados