Esboce a região mathcalR do plano R^2 dada abaixo e determine sua fronteira. Classifique R em: aberto (A), fechado (F), limitado (L), compacto (K), ou conexo (C).
1.1A
R=(x, y) in R^2 ; 4 x^2+y^2 >= 9

Passo 1

O enunciado define a região
R = (x,y)inR^2 mid 4x^2 + y^2 >= 9.
Aqui o conteúdo é interpretação de região dada por desigualdade quadrática (elipse) e classificação topológica: aberto, fechado, limitado, compacto e conexo.

Passo 2

Para esboçar, note que a igualdade
4x^2 + y^2 = 9
é uma elipse centrada na origem com semi-eixos
a = tfrac32(eixo (x)), b = 3(eixo (y))
Como queremos 4x^2+y^2>=9, a região R é justamente o exterior dessa elipse, incluindo a própria curva.

Passo 3

A fronteira de R é o conjunto de pontos onde se muda de “dentro” para “fora”. Aqui vale
partialR =(x,y)inR^2mid 4x^2 + y^2 = 9

Passo 4

Uma região definida por “ >=” de uma função contínua é fechada, porque contém sua fronteira. Logo R é fechada (F) e não é aberta (A).
R estende-se ao infinito (o exterior da elipse), portanto não é limitado. Logo não satisfaz (L).

Passo 5

Compacto (K) em R^2 exige ser fechado e limitado. Aqui falha a parte de limitado, então R não é compacto.

Passo 6

O exterior (mais a fronteira) de uma elipse, embora tenha “um furo” no interior, é um único pedaço contínuo: dado qualquer par de pontos em R existe caminho inteiro dentro de R que os conecta. Logo R é conexo (C).

Resposta

Fronteira:
partialR=(x,y)inR^2mid 4x^2+y^2=9
Classificação: fechado (F), não limitado, não compacto, conectado (C).

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