Esboce a região
do plano
dada abaixo e determine sua fronteira. Classifique
em: aberto (A), fechado (F), limitado (L), compacto (K), ou conexo (C).
1.1A
1.1A
Passo 1
O enunciado define a região
.
Aqui o conteúdo é interpretação de região dada por desigualdade quadrática (elipse) e classificação topológica: aberto, fechado, limitado, compacto e conexo.
Aqui o conteúdo é interpretação de região dada por desigualdade quadrática (elipse) e classificação topológica: aberto, fechado, limitado, compacto e conexo.
Passo 2
Para esboçar, note que a igualdade
é uma elipse centrada na origem com semi-eixos
Como queremos
, a região
é justamente o exterior dessa elipse, incluindo a própria curva.
Passo 3
A fronteira de
é o conjunto de pontos onde se muda de “dentro” para “fora”. Aqui vale
Passo 4
Uma região definida por “
” de uma função contínua é fechada, porque contém sua fronteira. Logo
é fechada (F) e não é aberta (A).
estende-se ao infinito (o exterior da elipse), portanto não é limitado. Logo não satisfaz (L).
Passo 5
Compacto (K) em
exige ser fechado e limitado. Aqui falha a parte de limitado, então
não é compacto.
Passo 6
O exterior (mais a fronteira) de uma elipse, embora tenha “um furo” no interior, é um único pedaço contínuo: dado qualquer par de pontos em
existe caminho inteiro dentro de
que os conecta. Logo
é conexo (C).
Resposta
Fronteira:
Classificação: fechado (F), não limitado, não compacto, conectado (C).