Exercício 7 (D.L.1.11)
Encontre a solução x(t)=(x1(t), x2(t)) da equação diferencial linear em R^2 com as condições iniciais dadas:
x1^prime=-x1, x2^prime=x1+2 x2 ; x1(0)=0, x2(0)=3.

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear em
com condições iniciais . Como a equação de independe de , temos um sistema triangular, que podemos resolver por desacoplamento: primeiro determinamos e depois .

Passo 2

A equação para x1 é
x1' = -x1
Esta é uma ODE de primeira ordem cuja solução geral é
x1(t)=C,e^-t
Aplicando a condição inicial x1(0)=0 segue C=0, logo
x1(t)=0

Passo 3

Substituindo x1(t)=0 na segunda equação, obtemos
x2' = 2x2
A solução geral desta ODE é
x2(t)=D,e^2t
Usando x2(0)=3 D=3, portanto
x2(t)=3,e^2t

Resposta

x(t)=l(x1(t),x2(t)r)=l(0,3e^2tr)

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