Resolva as seguintes equações diferenciais de Bernoulli:
2 t d yd t+2 y=t y^3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de Bernoulli
2,tdydt+2,y = t,y^3
que, após dividir por 2t, fica na forma padrão
dydt+1t,y = tfrac12,y^3
Para resolver usaremos a substituição característica de Bernoulli.

Passo 2

Identificamos n=3. Fazemos a mudança de variável
v = y^,1-n = y^-2
Calculamos a derivada de v:
dvdt = -2,y^-3,dydt

Passo 3

Multiplicando a equação padrão
y' + tfrac1t,y = tfrac12,y^3
por -2,y^-3 e usando -2y^-3y' = dvdt, obtemos a EDO linear
dvdt - 2t,v = -1

Passo 4

Para resolver
dvdt - 2tv = -1
o fator integrante é
mu(t) = expl(integral -tfrac2t,dtr) = t^-2
Multiplicando por mu
ddtl(v,t^-2r) = -t^-2
Integrando em t:
v,t^-2 = integral -t^-2,dt = 1t + C Longrightarrow v = t + C,t^2

Passo 5

Voltando à variável y, como v=y^-2, temos
y^-2 = t + C,t^2 = t,(1 + C,t) Longrightarrow y^2 = 1t,(1+Ct),
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y(t) = pm1raizt,(1+Ct)

Resposta

y(t) = pm1raizt,(1+Ct), CinR

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