Exercício 6 (D.L.1.10)
Mostre que
é um subespaço de
que é invariante pela ação da matriz
, ou seja, mostre que
é um subespaço de
e que se,
é uma solução de
tal que
para algum
, então
para cada
.
Mostre que
Passo 1
O enunciado define
e pede para mostrar:
- Que
é um subespaço de . - Que, se
é solução de
e existe
tal que
, então
para todo
.
Conteúdo: espaços vetoriais, núcleo de operador linear, invariância sob fluxo de uma EDO linear.
Conteúdo: espaços vetoriais, núcleo de operador linear, invariância sob fluxo de uma EDO linear.
Passo 2
Mostramos que
é subespaço. O operador
é linear, logo seu núcleo satisfaz:
-
porque . - Se
, então
portanto
.
3. Para ,
3. Para
logo
.
Concluímos que é subespaço de
.
Concluímos que
Passo 3
Mostramos que
é invariante sob
, isto é,
. Se
então
Como
, segue
. Assim
é invariante pela ação de
.
Passo 4
Agora provamos invariância sob o fluxo da EDO
. Seja
solução e defina
Calculamos
Como
comuta com
, temos
logo
Além disso
. Pelo teorema de existência e unicidade, a única solução de
é
. Logo
para todo
, isto é,
.