Exercício 6 (D.L.1.10)
Mostre que Vlambda=k e r(lambda I-A) subset R^n é um subespaço de R^n que é invariante pela ação da matriz A in Mn(R^n), ou seja, mostre que Vlambda é um subespaço de R^n e que se, x: R R^n é uma solução de x^prime=A x tal que x(t^*) in Vlambda para algum t^* in R, então x(t) in Vlambda para cada t in R.

Passo 1

O enunciado define
Vlambda = ker(lambda I - A)subsetR^n
e pede para mostrar:
  1. Que Vlambda é um subespaço de R^n.
  2. Que, se x:RtoR^n é solução de
x' = A,x
e existe t^* tal que x(t^*)in Vlambda, então x(t)in Vlambda para todo t.
Conteúdo: espaços vetoriais, núcleo de operador linear, invariância sob fluxo de uma EDO linear.

Passo 2

Mostramos que ker(lambda I - A) é subespaço. O operador
L = lambda I - A
é linear, logo seu núcleo satisfaz:
  1. 0inker L porque L(0)=0.
  2. Se u,vinker L, então
L(u+v) = L(u)+L(v) = 0+0 = 0,
portanto u+vinker L.
3. Para alphainR,
L(alpha u) = alpha,L(u) = alphacdot 0 = 0,
logo alpha uinker L.
Concluímos que ker(lambda I - A) é subespaço de R^n.

Passo 3

Mostramos que Vlambda é invariante sob A, isto é, A(Vlambda)subset Vlambda. Se vin Vlambda então
(lambda I - A)v = 0 Longrightarrow A v = lambda v
Como lambda vin Vlambda, segue A vin Vlambda. Assim Vlambda é invariante pela ação de A.

Passo 4

Agora provamos invariância sob o fluxo da EDO x'=Ax. Seja x(t) solução e defina
y(t) = (lambda I - A),x(t)
Calculamos
y'(t) = (lambda I - A),x'(t) = (lambda I - A),A,x(t)
Como lambda I comuta com A, temos
(lambda I - A),A = A,(lambda I - A),
logo
y'(t) = Al((lambda I - A)x(t)r) = A,y(t)
Além disso y(t^*)=(lambda I - A)x(t^*)=0. Pelo teorema de existência e unicidade, a única solução de
y'=A,y, y(t^*)=0
é y(t)equiv 0. Logo (lambda I - A)x(t)=0 para todo t, isto é, x(t)inker(lambda I - A)=Vlambda.

Resposta

Vlambda=ker(lambda I - A) é subespaço de R^n e, se x(t) satisfaz x'=Ax e x(t^*)in Vlambda para algum t^*, então x(t)in Vlambda para todo t.

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