Q 121 Calcule as derivadas sucessivas até a ordem n indicada.
f(x)=3^-2 x, n=5.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas sucessivas de f(x)=3^-2x até a quinta ordem ( n=5). Vamos usar a regra da cadeia e a fórmula da derivada de uma exponencial de base a:
ddxa^u(x) ;=; a^u(x)ln(a),u'(x)

Passo 2

Defina u(x)=-2x. Então f(x)=3^u(x) e u'(x)=-2. Aplicando a fórmula,
f'(x) =3^u(x)ln(3),u'(x) =3^-2xln(3),(-2) =(-2ln 3),3^-2x

Passo 3

Ao diferenciar novamente, cada derivada traz um fator adicional -2ln 3. Por indução, a k-ésima derivada satisfaz
f^(k)(x)=(-2ln 3)^k,3^-2x

Passo 4

Escrevendo explicitamente para k=0,1,2,3,4,5, obtemos
f(x)=3^-2x
f'(x)=(-2ln 3),3^-2x
f''(x)=(-2ln 3)^2,3^-2x
f^(3)(x)=(-2ln 3)^3,3^-2x
f^(4)(x)=(-2ln 3)^4,3^-2x
f^(5)(x)=(-2ln 3)^5,3^-2x

Resposta

f(x)=3^-2x
f'(x)=(-2ln 3),3^-2x
f''(x)=(-2ln 3)^2,3^-2x
f^(3)(x)=(-2ln 3)^3,3^-2x
f^(4)(x)=(-2ln 3)^4,3^-2x
f^(5)(x)=(-2ln 3)^5,3^-2x

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