Q 121 Calcule as derivadas sucessivas até a ordem
indicada.
.
Passo 1
O enunciado pede as derivadas sucessivas de
até a quinta ordem (
). Vamos usar a regra da cadeia e a fórmula da derivada de uma exponencial de base
:
Passo 2
Defina
. Então
e
. Aplicando a fórmula,
Passo 3
Ao diferenciar novamente, cada derivada traz um fator adicional
. Por indução, a k-ésima derivada satisfaz
Passo 4
Escrevendo explicitamente para
, obtemos