Esboce a região mathcalR do plano R^2 dada abaixo e determine sua fronteira. Classifique R em: aberto (A), fechado (F), limitado (L), compacto (K), ou conexo (C).
1.1A
R=(x, y) in R^2 ;(x^2+y^2-1) y<0

Passo 1

O enunciado pede a região \r
R=(x,y)inR^2 : (x^2+y^2-1),y<0, seu esboço, a fronteira e a classificação em aberto (A), fechado (F), limitado (L), compacto (K) e conexo (C). Vamos usar análise de sinais e geometria do círculo de raio 1 e do eixo x.

Passo 2

Resolvendo a desigualdade por análise de sinais, queremos\r
(x^2+y^2-1),y<0\r
Isso ocorre quando os fatores têm sinais opostos, ou seja:\r
  1. y>0 e x^2+y^2-1<0, isto é, pontos dentro do círculo unitário e acima do eixo x. \r
  2. y<0 e x^2+y^2-1>0, isto é, pontos fora (ou seja, com raio >1) do círculo unitário e abaixo do eixo x.

Passo 3

O esboço consiste em desenhar o círculo x^2+y^2=1 e o eixo x: \r
  • Sombramos o interior do círculo para y>0. \r
  • Sombramos a região exterior ao círculo para y<0. \r
    A fronteira de R é onde o produto é zero, ou seja,\r
partialR=(x,y)inR^2 : y=0;cup;(x,y)inR^2 : x^2+y^2=1

Passo 4

Classificamos agora cada propriedade:\r
  • Aberto (A)? Sim, pois a desigualdade é estrita. \r
  • Fechado (F)? Não, faltam pontos da fronteira. \r
  • Limitado (L)? Não, a parte exterior em y<0 é ilimitada. \r
  • Compacto (K)? Não, não é fechado nem limitado. \r
  • Conexo (C)? Não, há duas componentes disjuntas: interior acima e exterior abaixo.

Resposta

A: sim
F: não
L: não
K: não
C: não
Fronteira: y=0cupx^2+y^2=1.

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