Esboce a região
do plano
dada abaixo e determine sua fronteira. Classifique
em: aberto (A), fechado (F), limitado (L), compacto (K), ou conexo (C).
1.1A
1.1A
Passo 1
O enunciado pede a região \r
, seu esboço, a fronteira e a classificação em aberto (A), fechado (F), limitado (L), compacto (K) e conexo (C). Vamos usar análise de sinais e geometria do círculo de raio 1 e do eixo
.
Passo 2
Resolvendo a desigualdade por análise de sinais, queremos\r
Isso ocorre quando os fatores têm sinais opostos, ou seja:\r
-
e , isto é, pontos dentro do círculo unitário e acima do eixo . \r -
e , isto é, pontos fora (ou seja, com raio >1) do círculo unitário e abaixo do eixo .
Passo 3
O esboço consiste em desenhar o círculo
e o eixo
: \r
- Sombramos o interior do círculo para
. \r - Sombramos a região exterior ao círculo para
. \r
A fronteira deé onde o produto é zero, ou seja,\r
Passo 4
Classificamos agora cada propriedade:\r
- Aberto (A)? Sim, pois a desigualdade é estrita. \r
- Fechado (F)? Não, faltam pontos da fronteira. \r
- Limitado (L)? Não, a parte exterior em
é ilimitada. \r - Compacto (K)? Não, não é fechado nem limitado. \r
- Conexo (C)? Não, há duas componentes disjuntas: interior acima e exterior abaixo.
Resposta
A: sim
F: não
L: não
K: não
C: não
Fronteira: .
F: não
L: não
K: não
C: não
Fronteira: