Exercício 13 (D.L.1.17)
Calcule os autovetores e autovalores da matriz
A=(cc 0 & 1 -4 & 0 )
e obtenha a solução geral do sistema x^prime=A x.

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e autovetores da matriz
A=0 & 1-4 & 0
e, em seguida, a solução geral do sistema linear homogêneo
x' = A,x
O conteúdo principal envolve: (i) cálculo do polinômio característico para achar os autovalores, (ii) resolução de (A-lambda I)v=0 para obter os autovetores, e (iii) montagem da solução geral via exponencial de matriz ou decomposição em partes real e imaginária.

Passo 2

Para encontrar os autovalores calculamos o determinante de A-lambda I:
det(A-lambda I) =det-lambda & 1-4 & -lambda =lambda^2+4
Logo o polinômio característico é lambda^2+4=0, cujas raízes são
lambda1=2i, lambda2=-2i

Passo 3

Agora achamos os autovetores. Para resolvemos
Da primeira linha tem-se , isto é . Tomando , um autovetor é
Analogamente, para obtém-se e, escolhendo ,

Passo 4

A solução geral complexa do sistema é
x(t) =C1,v1,e^2i t +C2,v2,e^-2i t,
onde C1,C2inC. Para obter a solução real, separamos as partes real e imaginária de v1e^2i t.

Passo 5

Calculando
v1e^2i t =12i(cos2t+isin2t) =underbracecos2t-2sin2tRe +iunderbracesin2t2cos2tIm,
vemos que
x^(1)(t)=cos2t-2sin2t, x^(2)(t)=sin2t2cos2t
são soluções reais independentes. Portanto a solução geral real é
x(t) =alpha,cos2t-2sin2t +beta,sin2t2cos2t,
com alpha,betainR.

Resposta

Os autovalores são
lambda1=2i, lambda2=-2i
Autovetor para lambda1:
v1=12i,
e para lambda2:
v2=1-2i
A solução geral real do sistema dot x=A x é
x(t) =alpha,cos2t-2sin2t +beta,sin2t2cos2t,
onde alpha,beta são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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