Exercício 12 (D.L.1.16)
Mostre que todas as soluções x(t) de x^prime=A x tendem a 0 in R^n quando t infty, no caso em que A é uma matriz
a) Diagonal e todas as entradas na diagonal de A são negativas;
b) Diagonalizável e todos os autovalores de A são negativos.

Passo 1

O enunciado trata do sistema linear homogêneo
x' = A,x, x(t)inR^n,
e pede para mostrar que toda solução x(t) satisfaz limttoinftyx(t)=0 nos dois casos:
a) A é diagonal com entradas diagonais negativas;
b) A é diagonalizável com todos os autovalores negativos.

Passo 2

Caso (a): A é diagonal, digamos
A = diag(a1,dots,an),
com ai<0 para todo i. A solução geral separa em componentes:
x(t) = l(x1(t),dots,xn(t)r), xi(t)=xi(0),e^ai t
Como cada ai<0, temos e^ai tto0 quando ttoinfty. Logo cada componente xi(t)to0 e, portanto,
limttoinftyx(t)=0

Passo 3

Para ver o decaimento de forma unificada, note que com a*=maxi ai<0 e escolhendo qualquer norma vetorial compatible, vale
|x(t)|<= C,e^a* t,
onde C=|x(0)|. Como a*<0, o fator e^a* tto0, garantindo |x(t)|to0.

Passo 4

Caso (b): A é diagonalizável, isto é, existe P invertível tal que
A = P,D,P^-1,
com D=diag(lambda1,dots,lambdan) e cada lambdai<0. Fazendo a mudança de variável
y = P^-1x, obtemos
y' = P^-1x' = P^-1A,x = P^-1P,D,P^-1x = D,y
Então cada componente satisfaz yi(t)=yi(0)e^lambdai tto0. Assim y(t)to0.

Passo 5

Voltando a x, temos x(t)=P,y(t). Como P é constante e y(t)to0, segue
|x(t)| = |P,y(t)|<= |P|,|y(t)|;longrightarrow 0
Logo limttoinftyx(t)=0 também no caso (b).

Resposta

Em ambos os casos, todas as soluções x(t) do sistema tendem a 0 quando ttoinfty.

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