Exercício 12 (D.L.1.16)
Mostre que todas as soluções
de
tendem a
quando
, no caso em que
é uma matriz
a) Diagonal e todas as entradas na diagonal de
são negativas;
b) Diagonalizável e todos os autovalores de
são negativos.
Mostre que todas as soluções
a) Diagonal e todas as entradas na diagonal de
b) Diagonalizável e todos os autovalores de
Passo 1
O enunciado trata do sistema linear homogêneo
e pede para mostrar que toda solução
satisfaz
nos dois casos:
a) é diagonal com entradas diagonais negativas;
b) é diagonalizável com todos os autovalores negativos.
a)
b)
Passo 2
Caso (a):
é diagonal, digamos
com
para todo
. A solução geral separa em componentes:
Como cada
, temos
quando
. Logo cada componente
e, portanto,
Passo 3
Para ver o decaimento de forma unificada, note que com
e escolhendo qualquer norma vetorial compatible, vale
onde
. Como
, o fator
, garantindo
.
Passo 4
Caso (b):
é diagonalizável, isto é, existe
invertível tal que
com
e cada
. Fazendo a mudança de variável
, obtemos
Então cada componente satisfaz
. Assim
.
Passo 5
Voltando a
, temos
. Como
é constante e
, segue
Logo
também no caso (b).
Resposta
Em ambos os casos, todas as soluções
do sistema tendem a
quando
.