Esboce a região
do plano
dada abaixo e determine sua fronteira. Classifique
em: aberto (A), fechado (F), limitado (L), compacto (K), ou conexo (C).
1.1A
1.1A
Passo 1
O enunciado define a região
.
Vamos esboçar essa região, determinar sua fronteira e classificar em aberto (A), fechado (F), limitado (L), compacto (K) e conexo (C).
Vamos esboçar essa região, determinar sua fronteira e classificar em aberto (A), fechado (F), limitado (L), compacto (K) e conexo (C).
Passo 2
O gráfico da curva
é a curva cúbica padrão, com inflexão em
.
A condição corresponde ao conjunto de todos os pontos que estão acima dessa curva, sem incluir a própria curva.
A condição
Passo 3
Para achar a fronteira de
usamos o fato de que num conjunto definido por
com
contínua, a fronteira é dada por
.
Aqui podemos definir . Logo a fronteira satisfaz
Aqui podemos definir
Passo 4
Verificamos se
é aberto ou fechado.
Como a desigualdade é estrita ( ) e
é contínua,
é um conjunto aberto e, portanto, não fechada.
Como a desigualdade é estrita (
Passo 5
- A região não é limitada, pois para
ou ainda cabem pontos com . - Como não é limitada, não pode ser compacta (compacto exige fechado e limitado).
- A epígrafe de uma função contínua (mesmo com desigualdade estrita) é conexa (até caminho-conexa).
Resposta
A fronteira de
é
A classificação de
é:
aberta (A), não fechada, não limitada (logo não compacta), mas conexa (C).
aberta (A), não fechada, não limitada (logo não compacta), mas conexa (C).