Esboce a região mathcalR do plano R^2 dada abaixo e determine sua fronteira. Classifique R em: aberto (A), fechado (F), limitado (L), compacto (K), ou conexo (C).
1.1A
R=(x, y) in R^2 ; x^3<y

Passo 1

O enunciado define a região
R = (x,y)inR^2 : x^3 < y.
Vamos esboçar essa região, determinar sua fronteira e classificar em aberto (A), fechado (F), limitado (L), compacto (K) e conexo (C).

Passo 2

O gráfico da curva y = x^3 é a curva cúbica padrão, com inflexão em (0,0).
A condição x^3 < y corresponde ao conjunto de todos os pontos que estão acima dessa curva, sem incluir a própria curva.

Passo 3

Para achar a fronteira de R usamos o fato de que num conjunto definido por f(x,y)<0 com f contínua, a fronteira é dada por f(x,y)=0.
Aqui podemos definir f(x,y)=x^3-y. Logo a fronteira satisfaz
x^3 - y = 0 Long<=ftrightarrow y = x^3

Passo 4

Verificamos se R é aberto ou fechado.
Como a desigualdade é estrita ( x^3<y) e f(x,y)=x^3-y é contínua, R é um conjunto aberto e, portanto, não fechada.

Passo 5

  • A região não é limitada, pois para xtopminfty ou ytoinfty ainda cabem pontos com y>x^3.
  • Como não é limitada, não pode ser compacta (compacto exige fechado e limitado).
  • A epígrafe de uma função contínua (mesmo com desigualdade estrita) é conexa (até caminho-conexa).

Resposta

A fronteira de R é
partialR = (x,y)inR^2 : y = x^3
A classificação de R é:
aberta (A), não fechada, não limitada (logo não compacta), mas conexa (C).

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