Determine caso exista a equação do plano tangente ao gráfico da função no ponto .
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede a equação do plano tangente ao gráfico de no ponto .
O que vamos precisar é:
– confirmar que o ponto pertence ao domínio de ,
– calcular as derivadas parciais e ,
– avaliá-las em ,
– montar a fórmula do plano tangente
Passo 2
Verificamos se o ponto está no domínio de . Como , o ponto está no domínio e é diferenciável em torno dele, logo existe plano tangente.
Passo 3
Usamos a regra do quociente para obter as derivadas parciais. Para com e , temos
Aqui , , , . Logo
Passo 4
Calculamos e as derivadas em .
No numerador de :
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fx(1,4)=-23(1-4)^2=-239
No numerador de fy:
x^2+2xy-y^2|(1,4) = 1 +8 -16 = -7,
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fy(1,4)=-79
Passo 5
O plano tangente em l(x0,y0,z0r)=(1,4,-17/3) é
z - !l(-tfrac173r) = -tfrac239,(x-1) ;-;tfrac79,(y-4)
Multiplicando ambos os lados por 9 e reorganizando, obtemos a forma mais simples