Determine caso exista a equação do plano tangente ao gráfico da função f(x, y)=x^2+y^2x-y no ponto (1,4, f(1,4)).

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=x^2+y^2x-y
e pede a equação do plano tangente ao gráfico de z=f(x,y) no ponto (1,4,f(1,4)).
O que vamos precisar é:
– confirmar que o ponto pertence ao domínio de f,
– calcular as derivadas parciais partial f/partial x e partial f/partial y,
– avaliá-las em (1,4),
– montar a fórmula do plano tangente
z - z0 = fx(x0,y0),(x-x0) + fy(x0,y0),(y-y0)

Passo 2

Verificamos se o ponto (1,4) está no domínio de f. Como x-y = 1-4 = -3 neq 0, o ponto está no domínio e f é diferenciável em torno dele, logo existe plano tangente.

Passo 3

Usamos a regra do quociente para obter as derivadas parciais. Para ,f(x,y) = dfracu(x,y)v(x,y) com u=x^2+y^2 e v=x-y, temos
fx = ux,v - u,vxv^2 e fy = uy,v - u,vyv^2
Aqui ux=2x, uy=2y, vx=1, vy=-1. Logo
fx = 2x,(x-y) - (x^2+y^2)cdot 1(x-y)^2 = 2x^2-2xy - x^2 - y^2(x-y)^2 = x^2 -2xy - y^2(x-y)^2,
fy = 2y,(x-y) - (x^2+y^2),(-1)(x-y)^2 = 2xy-2y^2 + x^2 + y^2(x-y)^2 = x^2 +2xy - y^2(x-y)^2

Passo 4

Calculamos f(1,4) e as derivadas em (1,4).
f(1,4)=1^2+4^21-4=17-3=-173
No numerador de fx:
x^2-2xy-y^2|(1,4) = 1 -8 -16 = -23,
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fx(1,4)=-23(1-4)^2=-239
No numerador de fy:
x^2+2xy-y^2|(1,4) = 1 +8 -16 = -7,
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fy(1,4)=-79

Passo 5

O plano tangente em l(x0,y0,z0r)=(1,4,-17/3) é
z - !l(-tfrac173r) = -tfrac239,(x-1) ;-;tfrac79,(y-4)
Multiplicando ambos os lados por 9 e reorganizando, obtemos a forma mais simples
23x + 7y + 9z = 0

Resposta

23x + 7y + 9z = 0

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