Esboce a região no plano complexo descrita por
Passo 1
O enunciado pede que eu esboce a região do plano complexo dada pela desigualdade
.
Informações dadas: a expressão envolve o módulo de um número complexo, , somado a
, e a desigualdade é do tipo “menor ou igual” a
.
O que se pede: desenhar (esboçar) a região do plano complexo que satisfaz essa desigualdade.
Informações dadas: a expressão envolve o módulo de um número complexo,
O que se pede: desenhar (esboçar) a região do plano complexo que satisfaz essa desigualdade.
Passo 2
Entender o que significa
. Primeiro, escrevo
em coordenadas reais:
, onde
é a parte real e
é a parte imaginária de
. Isso é só trocar a notação complexa por coordenadas que a gente desenha no plano:
no eixo horizontal e
no eixo vertical.
Passo 3
Substituo
em
. Como
é
, temos
O módulo de um complexo
é a distância até a origem e vale
. Aplicando aqui,
Passo 4
A desigualdade
vira, usando o resultado anterior,
Como ambos os lados são não negativos, podemos elevar ao quadrado sem mudar o sentido:
Passo 5
Interpretando geometricamente a inequação
: isso é a equação de um disco fechado (círculo com interior) do plano
com centro em
e raio
. Em termos de números complexos, o centro é o ponto
(pois
corresponde a
no plano) e o raio é
.
Passo 6
Determino pontos notáveis para facilitar o esboço:
- Ponto central:
(isto é, ). - Extremidade superior: tomar
dá . Assim (ponto ) e (ponto ). O topo do disco é e o fundo é . - Extremidades horizontal: tomar
(mesma linha do centro) dá , logo os pontos mais à direita e esquerda são e .
Passo 7
Instruções práticas para esboçar (passo a passo):
- Desenhe os eixos
(horizontal) e (vertical). - Marque o centro em
e coloque um ponto ou pequeno círculo. Dica: escreva "centro = ". - A partir do centro, meça 4 unidades para cima até
, 4 para baixo até , 4 para a direita até e 4 para a esquerda até — esses são os pontos cardeais do círculo. - Desenhe o círculo que passa por esses pontos e sombreie (preencha levemente) o interior. Como a desigualdade é “
”, a fronteira (o círculo) também está incluída — marque o contorno sólido, não pontilhado.
Resposta
Disco fechado de centro
e raio
; em coordenadas reais:
.