Esboce a região no plano complexo descrita por
|z+i| \leq 4

Passo 1

O enunciado pede que eu esboce a região do plano complexo dada pela desigualdade |z+i| \leq 4.
Informações dadas: a expressão envolve o módulo de um número complexo, z, somado a i, e a desigualdade é do tipo “menor ou igual” a 4.
O que se pede: desenhar (esboçar) a região do plano complexo que satisfaz essa desigualdade.

Passo 2

Entender o que significa |z+i|. Primeiro, escrevo z em coordenadas reais: z = x + iy, onde x é a parte real e y é a parte imaginária de z. Isso é só trocar a notação complexa por coordenadas que a gente desenha no plano: x no eixo horizontal e y no eixo vertical.

Passo 3

Substituo z = x+iy em |z+i|. Como i é 0 + i\cdot 1, temos
z + i = x + i(y+1).
O módulo de um complexo a+ib é a distância até a origem e vale \sqrt{a^{2}+b^{2}}. Aplicando aqui,
|z+i| = \sqrt{x^{2} + (y+1)^{2}}.

Passo 4

A desigualdade |z+i| \leq 4 vira, usando o resultado anterior,
\sqrt{x^{2} + (y+1)^{2}} \leq 4.
Como ambos os lados são não negativos, podemos elevar ao quadrado sem mudar o sentido:
x^{2} + (y+1)^{2} \leq 16.

Passo 5

Interpretando geometricamente a inequação x^{2} + (y+1)^{2} \leq 16: isso é a equação de um disco fechado (círculo com interior) do plano xy com centro em (0,-1) e raio 4. Em termos de números complexos, o centro é o ponto -i (pois -i corresponde a (0,-1) no plano) e o raio é 4.

Passo 6

Determino pontos notáveis para facilitar o esboço:
  • Ponto central: (0,-1) (isto é, z=-i).
  • Extremidade superior: tomar x=0 (y+1)^{2}=16 \Rightarrow y+1=\pm 4. Assim y=3 (ponto (0,3)) e y=-5 (ponto (0,-5)). O topo do disco é (0,3) e o fundo é (0,-5).
  • Extremidades horizontal: tomar y=-1 (mesma linha do centro) dá x^{2}\le 16, logo os pontos mais à direita e esquerda são (4,-1) e (-4,-1).

Passo 7

Instruções práticas para esboçar (passo a passo):
  1. Desenhe os eixos x (horizontal) e y (vertical).
  2. Marque o centro em (0,-1) e coloque um ponto ou pequeno círculo. Dica: escreva "centro = -i".
  3. A partir do centro, meça 4 unidades para cima até (0,3), 4 para baixo até (0,-5), 4 para a direita até (4,-1) e 4 para a esquerda até (-4,-1) — esses são os pontos cardeais do círculo.
  4. Desenhe o círculo que passa por esses pontos e sombreie (preencha levemente) o interior. Como a desigualdade é “ \leq”, a fronteira (o círculo) também está incluída — marque o contorno sólido, não pontilhado.

Resposta

Disco fechado de centro -i e raio 4; em coordenadas reais: \{(x,y)\mid x^{2}+(y+1)^{2}\leq 16\}.

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