Se
, onde
, prove que
Passo 1
O enunciado dá que
com
. Pede para provar a desigualdade
Informações relevantes fornecidas:
e
e
são os valores absolutos de
e
. A desigualdade que queremos mostrar envolve apenas essas quantidades.
Passo 2
Observação importante para manipular desigualdades com raízes: ambos os membros da desigualdade que queremos provar são não negativos, pois
e
. Quando os dois lados são não negativos, podemos elevar ambos ao quadrado sem mudar o sentido da desigualdade. Assim, é equivalente provar
Passo 3
Calcule os dois quadrados explicitamente. Primeiro o lado direito:
Agora o lado esquerdo:
Portanto a desigualdade desejada se reduz a
Passo 4
Simplificando a desigualdade obtida no passo anterior, subtrai-se
de ambos os lados:
Esta é a forma que precisamos provar agora.
Passo 5
Mostramos a desigualdade do passo anterior usando que o quadrado de qualquer real é não negativo. Considere
. Temos
Expandindo o quadrado:
Como
e
, isto é
Rearranjando obtemos
que é exatamente o que precisávamos. Portanto a desigualdade do passo 4 é verdadeira.
Passo 6
Voltando à equivalência do passo 2 (elevar ao quadrado), a desigualdade provada no passo 5 implica que
logo, tomando raízes quadradas (ambos os lados não negativos),
Isto conclui a prova.