Se z=x+y i, onde x, y \in \mathbb{R}, prove que
\sqrt{2}|z| \geq|x|+|y| .

Passo 1

O enunciado dá que z=x+y\,i com x,y\in\mathbb{R}. Pede para provar a desigualdade
\sqrt{2}\,|z| \geq |x|+|y|.
Informações relevantes fornecidas:
|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}},
e |x| e |y| são os valores absolutos de x e y. A desigualdade que queremos mostrar envolve apenas essas quantidades.

Passo 2

Observação importante para manipular desigualdades com raízes: ambos os membros da desigualdade que queremos provar são não negativos, pois |x|+|y|\geq 0 e |z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\geq 0. Quando os dois lados são não negativos, podemos elevar ambos ao quadrado sem mudar o sentido da desigualdade. Assim, é equivalente provar
\left(|x|+|y|\right)^{2} \leq \left(\sqrt{2}\,|z|\right)^{2}.

Passo 3

Calcule os dois quadrados explicitamente. Primeiro o lado direito:
\left(\sqrt{2}\,|z|\right)^{2}=2\,|z|^{2}=2\left(x^{2}+y^{2}\right).
Agora o lado esquerdo:
\left(|x|+|y|\right)^{2}=|x|^{2}+2|x||y|+|y|^{2}=x^{2}+2|x||y|+y^{2}.
Portanto a desigualdade desejada se reduz a
x^{2}+2|x||y|+y^{2} \leq 2\left(x^{2}+y^{2}\right).

Passo 4

Simplificando a desigualdade obtida no passo anterior, subtrai-se x^{2}+y^{2} de ambos os lados:
2|x||y| \leq x^{2}+y^{2}.
Esta é a forma que precisamos provar agora.

Passo 5

Mostramos a desigualdade do passo anterior usando que o quadrado de qualquer real é não negativo. Considere |x|-|y|. Temos
\bigl(|x|-|y|\bigr)^{2}\geq 0.
Expandindo o quadrado:
|x|^{2}-2|x||y|+|y|^{2}\geq 0.
Como |x|^{2}=x^{2} e |y|^{2}=y^{2}, isto é
x^{2}-2|x||y|+y^{2}\geq 0.
Rearranjando obtemos
2|x||y| \leq x^{2}+y^{2},
que é exatamente o que precisávamos. Portanto a desigualdade do passo 4 é verdadeira.

Passo 6

Voltando à equivalência do passo 2 (elevar ao quadrado), a desigualdade provada no passo 5 implica que
\left(|x|+|y|\right)^{2} \leq 2\left(x^{2}+y^{2}\right),
logo, tomando raízes quadradas (ambos os lados não negativos),
|x|+|y| \leq \sqrt{2}\,|z|.
Isto conclui a prova.

Resposta

\sqrt{2}\,|z| \geq |x|+|y|

Exercícios relacionados