Sejam z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C}. Prove que z_{1} z_{2}=0 se, e somente se, pelo menos um entre z_{1} ou z_{2} é igual a 0 .

Passo 1

O enunciado dá que z_{1},z_{2}\in\mathbb{C} (números complexos) e pede para provar a equivalência:
z_{1}z_{2}=0\quad\text{se, e somente se,}\quad \text{pelo menos um entre }z_{1}\text{ ou }z_{2}\text{ é }0.é
Ou seja, precisamos mostrar duas coisas separadas:
  1. Se z_{1}=0 ou z_{2}=0 então z_{1}z_{2}=0.
  2. Se z_{1}z_{2}=0 então z_{1}=0 ou z_{2}=0.
    Vou provar cada uma dessas implicações passo a passo.

Passo 2

Prova da implicação direta: “se um dos fatores é zero então o produto é zero”.
Se z_{1}=0, então por definição do zero em \mathbb{C} temos z_{1}=0+0i. Para qualquer z_{2}\in\mathbb{C} a multiplicação é
z_{1}z_{2}=(0+0i)\cdot z_{2}=0.
Analogamente, se z_{2}=0 então z_{1}z_{2}=0. Portanto a primeira implicação está provada. (Isto é apenas a propriedade elementar: multiplicar por zero dá zero.)

Passo 3

Estratégia para a implicação recíproca: “se o produto é zero então um dos fatores é zero”.
Vou usar a ideia de inverso multiplicativo: se um número complexo z é diferente de zero, ele tem inverso multiplicativo z^{-1} tal que z^{-1}z=1. Com isso, se z_{1}z_{2}=0 e z_{1}\neq0, multiplicando à esquerda por z_{1}^{-1} obtenho z_{2}=0. Preciso então mostrar que todo z\in\mathbb{C} não nulo tem inverso e dar a fórmula prática desse inverso.

Passo 4

Cálculo e justificativa do inverso de um número complexo não nulo.
Se z=a+bi com a,b\in\mathbb{R} e z\neq0, então não são ambos a e b iguais a 0. A conjugada de z é \overline{z}=a-bi. Multiplicando z por \overline{z} obtemos um número real:
z\overline{z}=(a+bi)(a-bi)=a^{2}+b^{2}.
Como z\neq0, temos (a,b)\neq(0,0), logo a^{2}+b^{2}>0. Assim a quantidade a^{2}+b^{2} é um real positivo e, portanto, invertível nos reais. Logo podemos definir
z^{-1}=\frac{\overline{z}}{a^{2}+b^{2}}.
Verificação rápida:
z\cdot z^{-1}=(a+bi)\cdot\frac{a-bi}{a^{2}+b^{2}}=\frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}+b^{2}}=1.
Isso mostra que todo z\neq0 tem inverso dado por essa fórmula.

Passo 5

Aplicação do inverso para concluir a implicação recíproca.
Suponha z_{1}z_{2}=0. Se z_{1}=0 já terminamos. Caso z_{1}\neq0, pelo passo anterior z_{1} tem inverso z_{1}^{-1}. Multiplicando a igualdade z_{1}z_{2}=0 à esquerda por z_{1}^{-1} (essa operação é válida porque z_{1}^{-1}z_{1}=1 e a multiplicação em \mathbb{C} é associativa), obtemos
z_{1}^{-1}(z_{1}z_{2})=(z_{1}^{-1}z_{1})z_{2}=1\cdot z_{2}=z_{2},
no lado direito z_{1}^{-1}\cdot 0=0. Portanto z_{2}=0. Assim, se z_{1}z_{2}=0 então ou z_{1}=0 ou z_{2}=0. A argumentação é simétrica trocando índices, então cobre ambos os casos.

Passo 6

Conclusão final (síntese do raciocínio).
Mostramos primeiro que se algum dos fatores é zero então o produto é zero. Depois mostramos que se o produto é zero e um fator não é zero, o outro deve ser zero, usando o inverso multiplicativo de um complexo não nulo (construído com a conjugada). Assim provamos a equivalência desejada.

Resposta

\displaystyle z_{1}z_{2}=0\iff z_{1}=0\text{ ou }z_{2}=0

Exercícios relacionados