Sejam
. Prove que
se, e somente se, pelo menos um entre
ou
é igual a 0 .
Passo 1
O enunciado dá que
(números complexos) e pede para provar a equivalência:
Ou seja, precisamos mostrar duas coisas separadas:
- Se
ou então . - Se
então ou .
Vou provar cada uma dessas implicações passo a passo.
Passo 2
Prova da implicação direta: “se um dos fatores é zero então o produto é zero”.
Se , então por definição do zero em
temos
. Para qualquer
a multiplicação é
Se
Analogamente, se
então
. Portanto a primeira implicação está provada. (Isto é apenas a propriedade elementar: multiplicar por zero dá zero.)
Passo 3
Estratégia para a implicação recíproca: “se o produto é zero então um dos fatores é zero”.
Vou usar a ideia de inverso multiplicativo: se um número complexo é diferente de zero, ele tem inverso multiplicativo
tal que
. Com isso, se
e
, multiplicando à esquerda por
obtenho
. Preciso então mostrar que todo
não nulo tem inverso e dar a fórmula prática desse inverso.
Vou usar a ideia de inverso multiplicativo: se um número complexo
Passo 4
Cálculo e justificativa do inverso de um número complexo não nulo.
Se com
e
, então não são ambos
e
iguais a
. A conjugada de
é
. Multiplicando
por
obtemos um número real:
Se
Como
, temos
, logo
. Assim a quantidade
é um real positivo e, portanto, invertível nos reais. Logo podemos definir
Verificação rápida:
Isso mostra que todo
tem inverso dado por essa fórmula.
Passo 5
Aplicação do inverso para concluir a implicação recíproca.
Suponha . Se
já terminamos. Caso
, pelo passo anterior
tem inverso
. Multiplicando a igualdade
à esquerda por
(essa operação é válida porque
e a multiplicação em
é associativa), obtemos
Suponha
no lado direito
. Portanto
. Assim, se
então ou
ou
. A argumentação é simétrica trocando índices, então cobre ambos os casos.
Passo 6
Conclusão final (síntese do raciocínio).
Mostramos primeiro que se algum dos fatores é zero então o produto é zero. Depois mostramos que se o produto é zero e um fator não é zero, o outro deve ser zero, usando o inverso multiplicativo de um complexo não nulo (construído com a conjugada). Assim provamos a equivalência desejada.
Mostramos primeiro que se algum dos fatores é zero então o produto é zero. Depois mostramos que se o produto é zero e um fator não é zero, o outro deve ser zero, usando o inverso multiplicativo de um complexo não nulo (construído com a conjugada). Assim provamos a equivalência desejada.