Esboce a região no plano que consiste em pontos cujas coordenadas polares satisfazem as condições dadas.
0 <= r<4, -pi / 2 <= theta<pi / 6

Passo 1

O enunciado pede o esboço da região em coordenadas polares dada por
0 <= r < 4, -,pi2 <= theta < pi6
O conteúdo aqui é representação de regiões em coordenadas polares: temos um limite radial r<4 (dentro de um círculo de raio 4) e um limite angular theta variando entre duas retas a partir da origem.

Passo 2

Interpretando 0 <= r < 4: são todos os pontos que estão dentro do círculo de centro na origem e raio 4, incluindo a origem, mas sem alcançar a circunferência r=4.

Passo 3

Interpretando -tfracpi2 <= theta < tfracpi6: o ângulo theta parte da semi-reta que aponta para baixo ( theta=-tfracpi2, eixo negativo y) e varia até, mas não incluindo, a semi-reta que faz 30^circ acima do eixo positivo x ( theta=tfracpi6).

Passo 4

Para esboçar, faça o seguinte:
1. Desenhe o círculo de raio 4 centrado na origem e trate sua fronteira como traço pontilhado (pois r=4 não está incluído).
2. Trace a semi-reta partindo da origem para baixo (eixo negativo y), marcando que este raio faz parte da região (linha contínua).
3. Trace a semi-reta partindo da origem a 30^circ acima do eixo x, marcando que esse raio não faz parte da região (linha pontilhada ou tracejada).
4. Pinte toda a região interna ao círculo e entre essas duas semi-retas.
O resultado é um setor circular de raio 4, aberto na fronteira externa e na semi-reta theta=tfracpi6, mas fechado na semi-reta theta=-tfracpi2 e na origem.

Resposta

A região é o setor circular de raio 4 centrado na origem, compreendido entre as semi-retas theta=-tfracpi2 (inclusa) e theta=tfracpi6 (não inclusa), sem alcançar a circunferência de raio 4.

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