Resolva a EDO:
y^prime=cos (x)+yx

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária de primeira ordem
y' = cos(x) + yx
O conteúdo aqui é “equação linear de primeira ordem”; para resolver, vamos colocar em forma padrão e usar o fator integrante.

Passo 2

Colocamos em forma padrão y' + p(x)y = q(x). Subtraindo tfracyx de ambos os lados, fica
y' - 1x,y = cos(x),
logo p(x) = -1x e q(x)=cos(x).

Passo 3

O fator integrante é
mu(x) = e^integral p(x),dx = e^integral -1x,dx = e^-ln|x| = 1x,
considerando xneq 0.

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por mu(x)=1/x obtemos
1xy' - 1x^2y = cos(x)x,
e o lado esquerdo é a derivada de yx, pois
l(tfracyxr)' = y'x - yx^2
Logo
l(tfracyxr)' = cos(x)x

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
yx = integral cos(x)x,dx + C,
onde C é a constante de integração. Multiplicando por x, ficamos com a solução geral
y(x) = xl(C + integral^x cos(s)s,dsr)

Resposta

A solução geral é
y(x) = xl(C + integral^x cos(s)s,dsr),
onde C é constante.

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