Esboce a região no plano que consiste em pontos cujas coordenadas polares satisfazem as condições dadas.
0 \leqslant r<2, \quad \pi \leqslant \theta \leqslant 3 \pi / 2

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Foi dada a condição em coordenadas polares: \;0 \le r < 2,\;\pi \le \theta \le 3\pi/2.
  • O pedido é esboçar (desenhar) a região no plano correspondente a esses pontos polares.
Lista explícita dos dados relevantes:
  • r varia de 0 até 2, com r=0 incluído e r=2 excluído.
  • \theta varia de \pi até 3\pi/2, ambos incluídos.

Passo 2

Lembrando a relação entre coordenadas polares e cartesianas (a parte teórica necessária):
  • As coordenadas polares (r,\theta) se relacionam com as cartesianas (x,y) por
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.
Aqui r\ge 0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x positivo no sentido anti-horário.
Interpretação do intervalo de \theta:
  • Para \pi \le \theta \le 3\pi/2 ambos \cos\theta e \sin\theta são não-positivos (ou seja, \cos\theta\le 0 e \sin\theta\le 0), portanto os pontos têm x\le 0 e y\le 0. Isso corresponde ao terceiro quadrante juntamente com os pontos sobre os eixos negativos (eixos incluídos quando \theta é exatamente \pi ou 3\pi/2).

Passo 3

Interpretação do intervalo de r:
  • A condição 0 \le r < 2 significa que estamos considerando pontos cuja distância ao centro (origem) é menor que 2. Em termos de círculo, isso é o disco aberto de raio 2: r<2 é equivalente a x^{2}+y^{2}<4.
  • O valor r=0 está incluído, então a origem (0,0) pertence à região.
  • O contorno circular com raio 2 (o arco r=2) não está incluído porque r<2.

Passo 4

Juntando as duas informações (ângulo e raio):
  • Limitando \theta ao intervalo [\pi,3\pi/2] restringimos a direção aos raios que apontam do eixo negativo x até o eixo negativo y, ou seja, o setor que cobre exatamente o terceiro quadrante (um quarto do círculo).
  • Limitando r a 0\le r<2 pegamos, ao longo desses raios, apenas os pontos que ficam dentro do círculo de raio 2, sem incluir o arco exterior.
Conclusão descritiva: a região é o quarto-de-disco localizado no terceiro quadrante (onde x\le 0 e y\le 0), com raio 2, incluindo os raios (as duas arestas radiais) e a origem, mas excluindo o arco circular de raio 2.

Passo 5

Descrição equivalente em coordenadas cartesianas (fórmula fechada):
  • Como r^{2}=x^{2}+y^{2} e vimos que x\le 0,\; y\le 0, a região pode ser escrita como
\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}<4,\; x\le 0,\; y\le 0\}.
Esta expressão inclui os pontos dos eixos negativos até, mas não incluindo, os pontos sobre o círculo de raio 2.

Passo 6

Como esboçar passo a passo (para você fazer rapidinho na prova):
  1. Desenha os eixos x e y.
  2. Marca um círculo de raio 2 centrado na origem (apenas como referência).
  3. Sombreia apenas a parte do interior desse círculo que fica no terceiro quadrante (onde x\le0 e y\le0).
  4. Não trace o arco externo como incluído: indique os pontos (-2,0) e (0,-2) como não pertencentes (por exemplo, com um círculo aberto nesses pontos), porque r=2 está excluído.
  5. Desenhe as duas arestas radiais (do 0 até quase (-2,0) e do 0 até quase (0,-2)) como pertencentes (linhas sólidas), já que \theta=\pi e \theta=3\pi/2 estão incluídos e r pode chegar arbitrariamente perto de 2 sem atingi-lo.
  6. Lembre-se que a origem está incluída (ponto cheio em (0,0)).

Passo 7

Alguns exemplos concretos (para verificar entendimento):
  • O ponto (-1,-1) tem x^{2}+y^{2}=2<4 e x\le0,y\le0, então pertence à região.
  • O ponto (-1.9,0) (sobre o eixo negativo x) corresponde a r=1{,}9<2 e \theta=\pi, portanto pertence.
  • O ponto (-2,0) tem r=2, logo não pertence (arco excluído).
  • O ponto (1,-1) não pertence porque x>0 (não está no terceiro quadrante).

Resposta

\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}<4,\; x\le 0,\; y\le 0\}

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