Esboce a região no plano que consiste em pontos cujas coordenadas polares satisfazem as condições dadas.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Foi dada a condição em coordenadas polares:
- O pedido é esboçar (desenhar) a região no plano correspondente a esses pontos polares.
Lista explícita dos dados relevantes:
-
varia de até , com incluído e excluído. -
varia de até , ambos incluídos.
Passo 2
Lembrando a relação entre coordenadas polares e cartesianas (a parte teórica necessária):
- As coordenadas polares
se relacionam com as cartesianas por
Aqui
é a distância ao origem e
é o ângulo medido a partir do eixo
positivo no sentido anti-horário.
Interpretação do intervalo de
:
- Para
ambos e são não-positivos (ou seja, e ), portanto os pontos têm e . Isso corresponde ao terceiro quadrante juntamente com os pontos sobre os eixos negativos (eixos incluídos quando é exatamente ou ).
Passo 3
Interpretação do intervalo de
:
- A condição
significa que estamos considerando pontos cuja distância ao centro (origem) é menor que . Em termos de círculo, isso é o disco aberto de raio : é equivalente a . - O valor
está incluído, então a origem pertence à região. - O contorno circular com raio
(o arco ) não está incluído porque .
Passo 4
Juntando as duas informações (ângulo e raio):
- Limitando
ao intervalo restringimos a direção aos raios que apontam do eixo negativo até o eixo negativo , ou seja, o setor que cobre exatamente o terceiro quadrante (um quarto do círculo). - Limitando
a pegamos, ao longo desses raios, apenas os pontos que ficam dentro do círculo de raio , sem incluir o arco exterior.
Conclusão descritiva: a região é o quarto-de-disco localizado no terceiro quadrante (onde
e
), com raio
, incluindo os raios (as duas arestas radiais) e a origem, mas excluindo o arco circular de raio
.
Passo 5
Descrição equivalente em coordenadas cartesianas (fórmula fechada):
- Como
e vimos que , a região pode ser escrita como
Esta expressão inclui os pontos dos eixos negativos até, mas não incluindo, os pontos sobre o círculo de raio
.
Passo 6
Como esboçar passo a passo (para você fazer rapidinho na prova):
- Desenha os eixos
e . - Marca um círculo de raio
centrado na origem (apenas como referência). - Sombreia apenas a parte do interior desse círculo que fica no terceiro quadrante (onde
e ). - Não trace o arco externo como incluído: indique os pontos
e como não pertencentes (por exemplo, com um círculo aberto nesses pontos), porque está excluído. - Desenhe as duas arestas radiais (do
até quase e do até quase ) como pertencentes (linhas sólidas), já que e estão incluídos e pode chegar arbitrariamente perto de sem atingi-lo. - Lembre-se que a origem está incluída (ponto cheio em
).
Passo 7
Alguns exemplos concretos (para verificar entendimento):
- O ponto
tem e , então pertence à região. - O ponto
(sobre o eixo negativo ) corresponde a e , portanto pertence. - O ponto
tem , logo não pertence (arco excluído). - O ponto
não pertence porque (não está no terceiro quadrante).