Mostre que \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{2 x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=0, utilizando
(a) A definição de limite (\varepsilon-\delta)
(b) O Teorema do Confronto
(c) A Proposição
A função é f(x,y)=\dfrac{2xy^{2}}{x^{2}+y^{2}}, definida para (x,y)\neq(0,0).
O ponto de interesse é (0,0).
O que é pedido: provar que o valor limite de f(x,y) quando (x,y) se aproxima de (0,0) é 0, usando três abordagens diferentes: (a) definição \varepsilon-\delta, (b) Teorema do Confronto (squeeze), (c) uma proposição (uma desigualdade que garante limite zero). A resolução começa nas próximas etapas.
porque r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\to 0 quando (x,y)\to(0,0). Pelo Teorema do Confronto, como a função alvo está sempre entre duas que tendem a 0, ela própria tende a 0. Assim
(c) Prova usando a Proposição (uma propriedade padrão de limites baseada em desigualdade).
Proposição usada (fórmula conhecida): se g(x,y)\ge 0 para pontos próximos a (0,0), \lim_{(x,y)\to(0,0)} g(x,y)=0 e |f(x,y)|\le g(x,y) perto de (0,0), então \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0.
Aplicando ao nosso caso: do Passo 2 temos |f(x,y)|\le 2r e 2r\ge 0. Como \lim_{(x,y)\to(0,0)} 2r=0, pela proposição concluímos imediatamente que \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0.
Passo 6
Comentário final e intuição (rápida e amigável). A ideia central é dominar a função pelo tamanho da distância ao ponto (0,0). Mostrar que |f(x,y)| é menor ou igual a uma constante vezes r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} faz com que o limite seja zero de forma simples. Se no exame você lembrar de comparar com r e usar \varepsilon-\delta ou o Teorema do Confronto, está seguro. Bom trabalho — você já domina esse tipo de argumento!