Mostre que \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{2 x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=0, utilizando
(a) A definição de limite (\varepsilon-\delta)
(b) O Teorema do Confronto
(c) A Proposição

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{2xy^{2}}{x^{2}+y^{2}}=0.
Informações dadas (o que temos):
  • A função é f(x,y)=\dfrac{2xy^{2}}{x^{2}+y^{2}}, definida para (x,y)\neq(0,0).
  • O ponto de interesse é (0,0).
    O que é pedido: provar que o valor limite de f(x,y) quando (x,y) se aproxima de (0,0) é 0, usando três abordagens diferentes: (a) definição \varepsilon- \delta, (b) Teorema do Confronto (squeeze), (c) uma proposição (uma desigualdade que garante limite zero). A resolução começa nas próximas etapas.

Passo 2

Preparação comum (uma desigualdade útil). Seja
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Observações elementares:
|x|\le r,\qquad |y|\le r,\qquad y^{2}\le r^{2}.
Agora calcule o valor absoluto da função:
\left|\frac{2xy^{2}}{x^{2}+y^{2}}\right| = \frac{2|x|\,y^{2}}{x^{2}+y^{2}} \le \frac{2|x|\,r^{2}}{r^{2}} = 2|x|.
Como |x|\le r, obtemos a desigualdade chave
\left|\frac{2xy^{2}}{x^{2}+y^{2}}\right|\le 2r.
Essa desigualdade vai ser a base das três demonstrações.

Passo 3

(a) Prova usando a definição \varepsilon- \delta.
Recordando a definição: dizer que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0
significa que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que 0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta, temos |f(x,y)-0|<\varepsilon.
Usando a desigualdade do Passo 2, para quaisquer (x,y)\neq(0,0) vale
|f(x,y)|=\left|\frac{2xy^{2}}{x^{2}+y^{2}}\right|\le 2r.
Dado \varepsilon>0, escolha
\delta=\frac{\varepsilon}{2}.
Então, se 0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}=r<\delta, temos
|f(x,y)|\le 2r<2\delta=2\cdot\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon.
Isto satisfaz a definição \varepsilon- \delta, logo
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{2xy^{2}}{x^{2}+y^{2}}=0.
(Ufa — definição satisfeita. Escolher \delta=\varepsilon/2 foi natural graças ao limite linear em r.)

Passo 4

(b) Prova pelo Teorema do Confronto (squeeze).
Do Passo 2 temos a desigualdade em valor absoluto:
-\;2r \le \frac{2xy^{2}}{x^{2}+y^{2}} \le 2r.
Agora considere as funções das quais as duas extremas dependem: as funções constantes em sinal -2r e 2r satisfazem
\lim_{(x,y)\to(0,0)} (-2r)=\lim_{(x,y)\to(0,0)} 2r=0,
porque r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\to 0 quando (x,y)\to(0,0). Pelo Teorema do Confronto, como a função alvo está sempre entre duas que tendem a 0, ela própria tende a 0. Assim
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{2xy^{2}}{x^{2}+y^{2}}=0.

Passo 5

(c) Prova usando a Proposição (uma propriedade padrão de limites baseada em desigualdade).
Proposição usada (fórmula conhecida): se g(x,y)\ge 0 para pontos próximos a (0,0), \lim_{(x,y)\to(0,0)} g(x,y)=0 e |f(x,y)|\le g(x,y) perto de (0,0), então \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0.
Aplicando ao nosso caso: do Passo 2 temos |f(x,y)|\le 2r e 2r\ge 0. Como \lim_{(x,y)\to(0,0)} 2r=0, pela proposição concluímos imediatamente que \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0.

Passo 6

Comentário final e intuição (rápida e amigável). A ideia central é dominar a função pelo tamanho da distância ao ponto (0,0). Mostrar que |f(x,y)| é menor ou igual a uma constante vezes r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} faz com que o limite seja zero de forma simples. Se no exame você lembrar de comparar com r e usar \varepsilon- \delta ou o Teorema do Confronto, está seguro. Bom trabalho — você já domina esse tipo de argumento!

Resposta

0

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