Esboce a região no plano que consiste em pontos cujas coordenadas polares satisfazem:
\theta=3 \pi / 2

Passo 1

O enunciado pede a região do plano cujos pontos, em coordenadas polares, satisfazem
\theta = \frac{3\pi}{2}.
O conteúdo aqui é entender a relação entre coordenadas polares (r,\theta) e coordenadas cartesianas (x,y), e depois identificar geometricamente o lugar dos pontos.

Passo 2

Recordando a transformação de coordenadas polares para cartesianas:
x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta, \quad r\ge0.
Ao impor \theta=\tfrac{3\pi}{2}, temos
\cos\!\Bigl(\tfrac{3\pi}{2}\Bigr)=0, \quad \sin\!\Bigl(\tfrac{3\pi}{2}\Bigr)=-1.
Logo
x = r\cdot 0 = 0, \quad y = r\cdot(-1) = -r.

Passo 3

Como r\ge0, a condição y=-r implica y\le0. Portanto todos os pontos têm
x=0 \quad\text{e}\quad y\le0.
Geometricamente isso é a semirreta do eixo y que vai da origem para baixo.

Passo 4

Para esboçar, desenhe o eixo y e trace a semirreta que parte da origem (0,0) apontando para valores negativos de y. Não há outras ramificações nem curvas, apenas essa linha.

Resposta

A região é a semirreta do eixo y negativo, isto é, o conjunto
\{(0,y)\mid y\le0\}.

Exercícios relacionados