Escreva em coordenadas cartesianas e polares e faça um esboço das seguintes circunferências:
Centrada em C=(-2,1) de raio 4

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma circunferência de centro C=(-2,1) e raio 4 em coordenadas cartesianas e polares, além de um esboço. Vamos usar a forma padrão da equação de uma circunferência em cartesianas e depois a transformação x=r\cos\theta, y=r\sin\theta para obter a fórmula em polares.

Passo 2

Em coordenadas cartesianas a equação geral de uma circunferência de centro (x_C,y_C) e raio R é
(x - x_C)^2 + (y - y_C)^2 = R^2.
Substituindo x_C=-2, y_C=1 e R=4, obtemos
(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 16.

Passo 3

Para passar a equação anterior para coordenadas polares fazemos x = r\cos\theta e y = r\sin\theta. Assim,
\bigl(r\cos\theta + 2\bigr)^2 + \bigl(r\sin\theta - 1\bigr)^2 = 16.
Se quisermos isolar r, expandimos e reunimos termos em r:
r^2 + \bigl(4\cos\theta - 2\sin\theta\bigr)\,r - 11 = 0,
cuja solução positiva é
r(\theta) = \frac{-\,(4\cos\theta - 2\sin\theta) + \sqrt{(4\cos\theta - 2\sin\theta)^2 + 44}} {2}.

Passo 4

Para esboçar a circunferência:
– Marque o ponto C(-2,1) no plano cartesiano.
– A partir de C trace quatro pontos cardeais a distância 4:
\,(2,1),\;(-6,1),\;(-2,5),\;(-2,-3).
– Desenhe a curva suave que passa por esses quatro pontos, formando um círculo de raio 4 centrado em (-2,1).

Resposta

Em coordenadas cartesianas:
(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 16.
Em coordenadas polares:
\bigl(r\cos\theta + 2\bigr)^2 + \bigl(r\sin\theta - 1\bigr)^2 = 16 \quad\Longleftrightarrow\quad r^2 + \bigl(4\cos\theta - 2\sin\theta\bigr)r - 11 = 0
(com r dado pela fórmula quadrática acima).
Esboço: círculo de centro (-2,1) e raio 4, passando pelos pontos (2,1), (-6,1), (-2,5) e (-2,-3).

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