Esboce a região no plano que consiste em pontos cujas coordenadas polares satisfazem:
R=\left\{(r, \theta) \in \mathrm{R}^{2} \mid 1 \leq r \leq 2,0 \leq \theta \leq 2 \pi\right\}

Passo 1

O enunciado define a região em coordenadas polares
\;R=\{(r,\theta)\in\mathbb{R}^2\mid 1\le r\le 2,\;0\le\theta\le2\pi\}.
O conteúdo aqui é representação de regiões em coordenadas polares e seu esboço no plano cartesiano.

Passo 2

Repare que em coordenadas cartesianas
\;r=\sqrt{x^2+y^2},
então
\;1\le r\le2
é equivalente a
1 \le \sqrt{x^2+y^2} \le 2,
ou seja,
1 \le x^2+y^2 \le 4.

Passo 3

O limite
\;0\le\theta\le2\pi
cobre todas as direções ao redor da origem, sem excluir nenhum ângulo. Logo, a região não tem “fatia” removida: é completa em torno do círculo.

Passo 4

Para esboçar, desenhe duas circunferências concêntricas centradas na origem, uma de raio 1 e outra de raio 2, e sombreie a região entre elas. Essa “faixa” circular é exatamente o anel onde 1\le r\le2.

Resposta

A região R é um anel circular centrado na origem, compreendido entre as circunferências de raio 1 e raio 2.

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