Esboce a região no plano x y.
\{(x, y) \mid x y<0\}

Passo 1

O enunciado pede para esboçar no plano xy a região
\{(x,y)\mid xy<0\}.
Aqui o conteúdo é entender desigualdades com produto de coordenadas e relacioná-las aos quadrantes do plano.

Passo 2

Observamos que, para dois números reais x e y, xy<0
significa que x e y têm sinais opostos. Logo há duas possibilidades:
  1. x>0 e y<0,
  2. x<0 e y>0.

Passo 3

Cada uma dessas possibilidades corresponde a um quadrante aberto do plano:
  • Caso x>0,\,y<0 é o quadrante IV.
  • Caso x<0,\,y>0 é o quadrante II.
    Note que nas retas x=0 ou y=0 temos xy=0, que não satisfaz xy<0, portanto os eixos não fazem parte da região.

Resposta

A região \{(x,y)\mid xy<0\} é exatamente a união dos quadrantes II x<0,y>0 e IV x>0,y<0, sem incluir as retas x=0 e y=0.

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