Esboce a região no plano (x y).
e
Passo 1
O enunciado pede que se esboce (desenhe) a região do plano cujos pontos
satisfazem duas condições simultâneas:
-
; -
.
Informações dadas e o que é pedido:
- Há duas desigualdades que definem restrições sobre as coordenadas
e . - Precisa-se representar graficamente no plano
a interseção dessas duas restrições (ou seja, todos os pontos que satisfazem as duas ao mesmo tempo).
Passo 2
Interpretação geométrica de cada desigualdade (cada uma sozinha):
- A equação
é a reta vertical que passa por . A desigualdade indica o semiplano à direita dessa reta (inclui a própria reta porque o sinal é ). - A equação
é a reta horizontal que passa por . A desigualdade indica o semiplano abaixo dessa reta (não inclui a reta porque o sinal é estrito ).
Passo 3
Como desenhar as retas-limite:
- Desenhe dois eixos perpendiculares e marque as posições
e . - Para
: desenhe uma reta vertical em e traceie-a cheia (contínua) para indicar que essa fronteira é incluída (porque ). - Para
: desenhe uma reta horizontal em e desenhe-a tracejada para indicar que essa fronteira não é incluída (porque ).
Passo 4
Determinar que lados das retas satisfazem as desigualdades (método do ponto-teste):
- Para
: teste o ponto . Como é verdadeiro, a região válida fica do lado direito da reta . - Para
: teste o ponto . Como é verdadeiro, a região válida fica abaixo da reta .
Portanto, cada desigualdade indica um semiplano: o primeiro semiplano é “direita”, o segundo é “embaixo”.
Passo 5
Interseção das duas condições (a região que queremos):
- A região pedida é a interseção do semiplano direito de
com o semiplano inferior de . - Geometricamente é um “quarto infinito”: todos os pontos que estão ao mesmo tempo à direita da reta vertical
(incluindo essa reta, exceto o ponto na mesma altura ) e abaixo da reta horizontal (essa reta não é incluída). - Observação importante sobre o ponto de canto: o ponto
não pertence à região porque nele e a desigualdade exige .
Passo 6
Como sombrear no esboço (passo a passo para fazer no papel sem usar régua complicada):
- Desenhe os eixos e marque
e . - Desenhe a reta vertical em
contínua (linha sólida). - Desenhe a reta horizontal em
tracejada. - Marque um ponto de teste dentro da região prevista, por exemplo
, para confirmar: satisfaz e . - Sombreie (ou pinte levemente) toda a área que está à direita da linha vertical e simultaneamente abaixo da linha horizontal. A sombra se estende indefinidamente para a direita e para baixo (região ilimitada).
Passo 7
Exemplos rápidos para treinar identificação:
-
pertence à região porque e . -
não pertence porque falha em . -
não pertence porque . -
não pertence porque .
Resposta
A região é o conjunto de todos os pontos à direita da reta
(incluindo essa reta) e abaixo da reta
(excluindo essa reta); graficamente: reta vertical
sólida, reta horizontal
tracejada, e a área sombreada na interseção (direita de
e abaixo de
).