Esboce a região no plano (x y).
\{(x, y) \mid x \geqslant 1 e y<3\}

Passo 1

O enunciado pede que se esboce (desenhe) a região do plano cujos pontos (x,y) satisfazem duas condições simultâneas:
  • x \geqslant 1;
  • y < 3.
Informações dadas e o que é pedido:
  • Há duas desigualdades que definem restrições sobre as coordenadas x e y.
  • Precisa-se representar graficamente no plano xy a interseção dessas duas restrições (ou seja, todos os pontos que satisfazem as duas ao mesmo tempo).

Passo 2

Interpretação geométrica de cada desigualdade (cada uma sozinha):
  • A equação \,x=1\, é a reta vertical que passa por x=1. A desigualdade \,x\geqslant1\, indica o semiplano à direita dessa reta (inclui a própria reta porque o sinal é \geqslant).
  • A equação \,y=3\, é a reta horizontal que passa por y=3. A desigualdade \,y<3\, indica o semiplano abaixo dessa reta (não inclui a reta porque o sinal é estrito <).

Passo 3

Como desenhar as retas-limite:
  • Desenhe dois eixos perpendiculares e marque as posições x=1 e y=3.
  • Para \,x=1\,: desenhe uma reta vertical em x=1 e traceie-a cheia (contínua) para indicar que essa fronteira é incluída (porque \geqslant).
  • Para \,y=3\,: desenhe uma reta horizontal em y=3 e desenhe-a tracejada para indicar que essa fronteira não é incluída (porque <).

Passo 4

Determinar que lados das retas satisfazem as desigualdades (método do ponto-teste):
  • Para \,x\geqslant1\,: teste o ponto (2,0). Como 2\geqslant1 é verdadeiro, a região válida fica do lado direito da reta x=1.
  • Para \,y<3\,: teste o ponto (0,0). Como 0<3 é verdadeiro, a região válida fica abaixo da reta y=3.
    Portanto, cada desigualdade indica um semiplano: o primeiro semiplano é “direita”, o segundo é “embaixo”.

Passo 5

Interseção das duas condições (a região que queremos):
  • A região pedida é a interseção do semiplano direito de \,x\geqslant1\, com o semiplano inferior de \,y<3\,.
  • Geometricamente é um “quarto infinito”: todos os pontos que estão ao mesmo tempo à direita da reta vertical x=1 (incluindo essa reta, exceto o ponto na mesma altura y=3) e abaixo da reta horizontal y=3 (essa reta não é incluída).
  • Observação importante sobre o ponto de canto: o ponto (1,3) não pertence à região porque nele y=3 e a desigualdade exige y<3.

Passo 6

Como sombrear no esboço (passo a passo para fazer no papel sem usar régua complicada):
  1. Desenhe os eixos e marque x=1 e y=3.
  2. Desenhe a reta vertical em x=1 contínua (linha sólida).
  3. Desenhe a reta horizontal em y=3 tracejada.
  4. Marque um ponto de teste dentro da região prevista, por exemplo (2,0), para confirmar: (2,0) satisfaz \,x\geqslant1\, e \,y<3\,.
  5. Sombreie (ou pinte levemente) toda a área que está à direita da linha vertical e simultaneamente abaixo da linha horizontal. A sombra se estende indefinidamente para a direita e para baixo (região ilimitada).

Passo 7

Exemplos rápidos para treinar identificação:
  • (1,2) pertence à região porque 1\geqslant1 e 2<3.
  • (1,3) não pertence porque y=3 falha em y<3.
  • (0,2) não pertence porque 0\not\geqslant1.
  • (5,10) não pertence porque 10\not<3.

Resposta

A região é o conjunto de todos os pontos à direita da reta x=1 (incluindo essa reta) e abaixo da reta y=3 (excluindo essa reta); graficamente: reta vertical x=1 sólida, reta horizontal y=3 tracejada, e a área sombreada na interseção (direita de x=1 e abaixo de y=3).

Exercícios relacionados