Esboce a região no plano x y.
\{(x, y) \mid 1+x \leqslant y \leqslant 1-2 x\}

Passo 1

O enunciado pede para desenhar a região do plano (x,y) definida por
1 + x \;\le\; y \;\le\; 1 - 2x.
O conteúdo envolvido é geometria analítica: são duas retas que delimitam uma “fatia” no plano.

Passo 2

Identificamos as retas que servem de fronteira:
y = 1 + x \quad\text{e}\quad y = 1 - 2x.
A primeira tem coeficiente angular 1 e intercepto 1; a segunda tem coeficiente angular -2 e intercepto 1.

Passo 3

Para achar o ponto de interseção das duas retas, igualamos
1 + x = 1 - 2x \quad\Longrightarrow\quad 3x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 0,
e então y = 1 + 0 = 1. Logo as retas se cruzam em (0,1).

Passo 4

Para saber de que lado estamos sombreando, escolhemos um ponto fácil, por exemplo (-1,1).
Verificamos
1 + (-1) = 0 \le 1 \quad\text{e}\quad 1 - 2(-1) = 3 \ge 1,
então (-1,1) satisfaz ambas as desigualdades. Isso mostra que a região fica entre as retas, do lado em que x é menor ou igual a 0.

Passo 5

Também podemos ver que, para existir ponto (x,y) com
1 + x \le 1 - 2x \quad\Longrightarrow\quad 3x \le 0 \quad\Longrightarrow\quad x \le 0.
Portanto a região é o “leque” infinito à esquerda de x=0, limitado abaixo pela reta y=1+x e acima pela reta y=1-2x, incluindo as próprias retas.

Resposta

A região é o conjunto de pontos entre as retas y=1+x e y=1-2x, para x\le0. No esboço, traça-se as duas retas cruzando em (0,1) e sombreia-se o leque à esquerda desse ponto, incluindo as fronteiras.

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