Esboce a região no plano (x y).
({(x, y)||x|<3 e| y |<2})
({(x, y)||x|<3 e| y |<2})
Passo 1
O enunciado pede que você esboce a região do plano formada por todos os pontos
que satisfazem as desigualdades
e
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A condição
e a condição devem ser simultaneamente verdadeiras (interseção). - As desigualdades são estritas (
), ou seja, as retas que delimitam a região não pertencem à região.
A tarefa: desenhar (esboçar) essa região no plano.
Passo 2
Entendendo as desigualdades uma a uma.
- A expressão
significa, por definição do valor absoluto, que
Isto representa todos os pontos do plano cuja coordenada
está entre
e
. Geometricamente isso é o conjunto de pontos entre duas retas verticais:
e
.
- A expressão
significa
Geometricamente: todos os pontos entre duas retas horizontais:
e
.
Passo 3
Interseção das duas condições (o que realmente queremos desenhar).
Como as duas condições devem valer ao mesmo tempo, a região pedida é o conjunto de pontos cujo está entre
e
e cujo
está entre
e
. Em notação de produto cartesiano isso é
Como as duas condições devem valer ao mesmo tempo, a região pedida é o conjunto de pontos cujo
Geometricamente é um retângulo centrado na origem com largura
(porque
) e altura
(porque
).
Passo 4
Os vértices do retângulo (pontos onde as retas delimitadoras se encontrariam) são
Reforço importante: por causa das desigualdades estritas, esses vértices e todas as retas
e
não pertencem à região. Portanto no esboço desenhamos essas retas como linhas tracejadas (ou desenhamos pequenos círculos abertos nos vértices) para indicar que a fronteira não está incluída.
Passo 5
Passo a passo prático para desenhar (faça isso na sua folha):
- Desenhe os eixos
e e marque as unidades. - Marque os pontos
no eixo e trace linhas verticais tracejadas em e . (Use tracejado para mostrar que a borda não pertence.) - Marque os pontos
no eixo e trace linhas horizontais tracejadas em e . - O retângulo formado por essas quatro linhas é a região: pinte ou faça hachura dentro dele, mas não pinte as próprias linhas. Se quiser, desenhe pequenos círculos abertos nos quatro vértices para enfatizar que os vértices não pertencem à região.
- Anote o centro em
e, se quiser, escreva ao lado algo como para lembrar a descrição analítica.
Passo 6
Observações didáticas rápidas para a prova (macetes):
- Sempre que vir
com , transforme em para visualizar no eixo . Mesmo para vale o mesmo com inclusão da igualdade. - A notação
significa o conjunto de pontos com e . Isso é útil para descrever retângulos abertos. - Lembre-se de desenhar fronteiras tracejadas quando a desigualdade for estrita (
ou ); desenhe fronteiras sólidas quando for ou .
Passo 7
Exemplo extra rápido para fixar: se o enunciado fosse
, a descrição seria
e a borda vertical em
seria sólida (incluída) enquanto as horizontais seriam tracejadas (não incluídas). Isso ajuda a treinar a diferença entre estrito e não estrito.
Resposta
A região é o retângulo aberto
no plano, isto é, todos os pontos
com
e
.