Esboce a região no plano (x y).
({(x, y)||x|<3 e| y |<2})

Passo 1

O enunciado pede que você esboce a região do plano formada por todos os pontos \,(x,y)\, que satisfazem as desigualdades \;|x|<3\; e \;|y|<2\;.
Informações dadas:
  • A condição \;|x|<3\; e a condição \;|y|<2\; devem ser simultaneamente verdadeiras (interseção).
  • As desigualdades são estritas ( <), ou seja, as retas que delimitam a região não pertencem à região.
    A tarefa: desenhar (esboçar) essa região no plano (x,y).

Passo 2

Entendendo as desigualdades uma a uma.
  • A expressão \;|x|<3\; significa, por definição do valor absoluto, que
-3 < x < 3.
Isto representa todos os pontos do plano cuja coordenada x está entre -3 e 3. Geometricamente isso é o conjunto de pontos entre duas retas verticais: \;x=-3\; e \;x=3\;.
  • A expressão \;|y|<2\; significa
-2 < y < 2.
Geometricamente: todos os pontos entre duas retas horizontais: \;y=-2\; e \;y=2\;.

Passo 3

Interseção das duas condições (o que realmente queremos desenhar).
Como as duas condições devem valer ao mesmo tempo, a região pedida é o conjunto de pontos cujo x está entre -3 e 3 e cujo y está entre -2 e 2. Em notação de produto cartesiano isso é
(-3,3)\times(-2,2).
Geometricamente é um retângulo centrado na origem com largura 6 (porque 3-(-3)=6) e altura 4 (porque 2-(-2)=4).

Passo 4

Os vértices do retângulo (pontos onde as retas delimitadoras se encontrariam) são
(-3,-2),\; (-3,2),\; (3,-2),\; (3,2).
Reforço importante: por causa das desigualdades estritas, esses vértices e todas as retas \;x=\pm 3\; e \;y=\pm 2\; não pertencem à região. Portanto no esboço desenhamos essas retas como linhas tracejadas (ou desenhamos pequenos círculos abertos nos vértices) para indicar que a fronteira não está incluída.

Passo 5

Passo a passo prático para desenhar (faça isso na sua folha):
  1. Desenhe os eixos x e y e marque as unidades.
  2. Marque os pontos x=\pm 3 no eixo x e trace linhas verticais tracejadas em x=-3 e x=3. (Use tracejado para mostrar que a borda não pertence.)
  3. Marque os pontos y=\pm 2 no eixo y e trace linhas horizontais tracejadas em y=-2 e y=2.
  4. O retângulo formado por essas quatro linhas é a região: pinte ou faça hachura dentro dele, mas não pinte as próprias linhas. Se quiser, desenhe pequenos círculos abertos nos quatro vértices para enfatizar que os vértices não pertencem à região.
  5. Anote o centro em (0,0) e, se quiser, escreva ao lado algo como (-3,3)\times(-2,2) para lembrar a descrição analítica.

Passo 6

Observações didáticas rápidas para a prova (macetes):
  • Sempre que vir |x|<a com a>0, transforme em -a<x<a para visualizar no eixo x. Mesmo para \le vale o mesmo com inclusão da igualdade.
  • A notação (a,b)\times(c,d) significa o conjunto de pontos (x,y) com a<x<b e c<y<d. Isso é útil para descrever retângulos abertos.
  • Lembre-se de desenhar fronteiras tracejadas quando a desigualdade for estrita ( < ou >); desenhe fronteiras sólidas quando for \le ou \ge.

Passo 7

Exemplo extra rápido para fixar: se o enunciado fosse \{|x|\le 1,\;|y|<2\}, a descrição seria [-1,1)\times(-2,2) e a borda vertical em x=\pm 1 seria sólida (incluída) enquanto as horizontais seriam tracejadas (não incluídas). Isso ajuda a treinar a diferença entre estrito e não estrito.

Resposta

A região é o retângulo aberto (-3,3)\times(-2,2) no plano, isto é, todos os pontos (x,y) com -3<x<3 e -2<y<2.

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