Esboce a região no plano (x y).
({(x, y) | 0 (\leqslant) y (\leqslant) 4 e (x (\leqslant) 2})
({(x, y) | 0 (\leqslant) y (\leqslant) 4 e (x (\leqslant) 2})
Passo 1
O enunciado pede que eu esboce a região
As informações dadas são:
-
(ou seja, fica entre as retas horizontais e , inclusive); -
(ou seja, estamos à esquerda da reta vertical , incluindo essa reta).
Passo 2
Entendendo cada desigualdade:
- A condição
significa que todo ponto da região tem coordenada que não é menor que e nem maior que . Geometricamente isso é a faixa (banda) horizontal limitada pelas retas e . - A condição
significa que estamos no semiplano à esquerda da reta vertical . A reta é incluída porque a desigualdade é “menor ou igual”.
Passo 3
Como traçar as fronteiras no papel:
- Desenhe os eixos
e . - Trace a reta horizontal
(eixo ) como linha sólida — é fronteira incluída. - Trace a reta horizontal
como linha sólida — é outra fronteira incluída. - Trace a reta vertical
como linha sólida — também incluída. - Marque os pontos de interseção das fronteiras:
e .
Passo 4
Decidir que lado sombrear (teste de ponto):
- Pegue o ponto teste
. Verifique: e . Logo satisfaz as duas condições, está dentro da região. - Pegue o ponto
. Aqui está entre e , mas não satisfaz , então está fora. Isso confirma que a região é a parte entre e que fica à esquerda da reta .
Passo 5
Como sombrear o esboço:
- Sombreie a faixa entre as retas
e . - Dentro dessa faixa, sombreie apenas a porção com
— isto é, tudo à esquerda da reta vertical . - Use linhas sólidas nas três retas porque todas as fronteiras são incluídas (
e implicam inclusão). - Indique com setas apontando para a esquerda que a região se estende infinitamente nessa direção (é ilimitada para
).
Passo 6
Descrição alternativa e parametrização (útil para a prova):
- A mesma região pode ser escrita como
- Observação prática: é uma faixa horizontal de altura
que continua indefinidamente para a esquerda e cuja borda direita é a reta .
Resposta
A região é a faixa entre
e
(inclusive) limitada à esquerda por
e à direita pela reta
(incluída); em notação: