Esboce a região no plano (x y).
({(x, y) | 0 (\leqslant) y (\leqslant) 4 e (x (\leqslant) 2})

Passo 1

O enunciado pede que eu esboce a região
\{(x,y)\mid 0 \le y \le 4 \text{ e } x \le 2\}.
As informações dadas são:
  • \;0 \le y \le 4 (ou seja, y fica entre as retas horizontais \,y=0 e \,y=4, inclusive);
  • \;x \le 2 (ou seja, estamos à esquerda da reta vertical \,x=2, incluindo essa reta).

Passo 2

Entendendo cada desigualdade:
  • A condição \;0 \le y \le 4 significa que todo ponto da região tem coordenada y que não é menor que \,0 e nem maior que \,4. Geometricamente isso é a faixa (banda) horizontal limitada pelas retas \,y=0 e \,y=4.
  • A condição \;x \le 2 significa que estamos no semiplano à esquerda da reta vertical \,x=2. A reta \,x=2 é incluída porque a desigualdade é “menor ou igual”.

Passo 3

Como traçar as fronteiras no papel:
  • Desenhe os eixos \,x e \,y.
  • Trace a reta horizontal \,y=0 (eixo x) como linha sólida — é fronteira incluída.
  • Trace a reta horizontal \,y=4 como linha sólida — é outra fronteira incluída.
  • Trace a reta vertical \,x=2 como linha sólida — também incluída.
  • Marque os pontos de interseção das fronteiras: \,(2,0) e \,(2,4).

Passo 4

Decidir que lado sombrear (teste de ponto):
  • Pegue o ponto teste \,(0,1). Verifique: 0 \le 1 \le 4 e 0 \le 2. Logo (0,1) satisfaz as duas condições, está dentro da região.
  • Pegue o ponto \,(3,2). Aqui y está entre 0 e 4, mas x=3 não satisfaz x\le2, então está fora. Isso confirma que a região é a parte entre y=0 e y=4 que fica à esquerda da reta x=2.

Passo 5

Como sombrear o esboço:
  • Sombreie a faixa entre as retas \,y=0 e \,y=4.
  • Dentro dessa faixa, sombreie apenas a porção com x\le2 — isto é, tudo à esquerda da reta vertical \,x=2.
  • Use linhas sólidas nas três retas porque todas as fronteiras são incluídas ( \le e \ge implicam inclusão).
  • Indique com setas apontando para a esquerda que a região se estende infinitamente nessa direção (é ilimitada para x\to -\infty).

Passo 6

Descrição alternativa e parametrização (útil para a prova):
  • A mesma região pode ser escrita como
\{(x,y)\mid y\in[0,4],\; x\in(-\infty,2]\}.
  • Observação prática: é uma faixa horizontal de altura 4 que continua indefinidamente para a esquerda e cuja borda direita é a reta x=2.

Resposta

A região é a faixa entre \,y=0 e \,y=4 (inclusive) limitada à esquerda por x\to -\infty e à direita pela reta \,x=2 (incluída); em notação:
\{(x,y)\mid 0 \le y \le 4,\; x \le 2\}.

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