Esboce a região no plano (x y).
({(x, y) | x<0})
({(x, y) | x<0})
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
e pede que eu esboce essa região no plano
.
Informações dadas: a desigualdade é , ou seja, somente a coordenada
está restringida; não há restrição sobre
.
O que é pedido: desenhar (esboçar) no plano cartesiano todos os pontos que satisfazem
,.
Informações dadas: a desigualdade é
O que é pedido: desenhar (esboçar) no plano cartesiano todos os pontos
Passo 2
Identifico a reta fronteira correspondente à igualdade associada: a igualdade é
,. Essa reta é a reta vertical que passa pela origem, conhecida como eixo
. Para esboçar, primeiro desenhe os eixos coordenados: o eixo horizontal (eixo
) e o eixo vertical (eixo
). Depois trace a reta vertical
, (o próprio eixo
). Como a desigualdade é estrita (
e não
), essa reta não pertence à região: então devemos desenhar essa reta como tracejada (ou pontilhada) para indicar que pontos sobre ela não estão incluídos.
Passo 3
Decidir que lado da reta sombrear: pego um ponto teste fácil que não esteja sobre a reta, por exemplo
. Verifico a desigualdade:
é verdadeira, portanto o ponto
pertence à região. Isso me diz que a região é o lado esquerdo da reta
,. Se eu testasse
obteria
falso, confirmando que o lado direito não é parte da região.
Passo 4
Desenho final: com a reta
) tracejada, sombreamos todo o semiplano à esquerda dessa reta. “Todo” significa para qualquer valor de
(isto é, para
indo para
e para
), desde que
seja negativo. Exemplos de pontos que devem ficar sombreados:
,
— note que em TeX eu escreveria
se houvesse vírgula decimal — ambos satisfazem
. Exemplos de pontos não inclusos:
não está incluído porque
;
também não.
Passo 5
Interpretação alternativa e notação útil: a região pode ser escrita como o produto cartesiano
ou seja,
. Isso reforça a ideia:
varia em todos os números negativos e
pode ser qualquer número real.
Passo 6
Dica prática para a prova (método geral): para esboçar uma desigualdade linear em
e
: 1) transforme a desigualdade em igualdade para obter a fronteira; 2) desenhe a fronteira (tracejada se a desigualdade for estrita); 3) escolha um ponto teste (por exemplo
, se não estiver na fronteira) para ver qual lado respeita a desigualdade; 4) sombreie esse lado. Aqui o procedimento dá rapidamente o semiplano à esquerda de
,.
Resposta
Semiplano aberto à esquerda da reta
:, i.e.
.