Determine (se existir) os extremos relativos de
:
onde
Passo 1
O enunciado dá a função
definida no domínio fechado e limitado
.
O que é pedido: determinar (se existirem) os extremos relativos de — isto é, localizar pontos do domínio onde
tem máximo ou mínimo local e classificá-los (máximo, mínimo ou sela).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
O que é pedido: determinar (se existirem) os extremos relativos de
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função é
. - O domínio é o retângulo
. - Como o domínio é fechado e
é contínua, sabemos que existirão máximos e mínimos globais; porém pedimos os extremos relativos (locais) e sua classificação.
Passo 2
Vamos procurar pontos críticos no interior do domínio. Conceito rápido: um ponto interior
é crítico se as derivadas parciais primeiras se anulam ali — isto equivale à condição
. Primeiro calculemos as derivadas parciais de
.
As derivadas parciais são:
Um ponto interior crítico satisfaz
Passo 3
Resolver
e
no intervalo
. Sabemos que
quando
(dentro de
a única solução é
). Portanto o único ponto crítico no interior do domínio é
O valor de
nesse ponto é
Passo 4
Classificação do ponto crítico usando a matriz Hessiana (teste das segundas derivadas). Conceito rápido: para funções de duas variáveis, calculamos
Então o discriminante é
. Se
e
temos máximo local; se
e
temos mínimo local; se
temos ponto de sela; se
o teste é inconclusivo.
Calcule as segundas derivadas:
No ponto
temos
Logo
e
. Pelo teste,
é um ponto de máximo local. Como o valor aí é
e não existe valor maior possível (pois
), esse máximo é também máximo global no domínio.
Passo 5
Agora precisamos checar as arestas (fronteira) do domínio: extremos relativos podem ocorrer também na fronteira. Estratégia: em cada aresta fixamos uma variável e tratamos a função como função de uma variável no intervalo restante, localizamos extremos dessa função unidimensional e então verificamos se esses pontos são realmente extremos locais no contexto bidimensional.
Aresta
(com
):
Esta função tem máximo em
(valor
) e mínimos nos extremos
(valor
). Mas atenção: um máximo da função restrita à aresta não garante máximo local na região bidimensional porque podemos mover um pouco para dentro do domínio (em direção a
). Por exemplo, no ponto
temos
, porém para
pequeno
, então
; logo
não é máximo local no domínio bidimensional. Já os pontos
e
têm valor
e qualquer movimento para dentro do domínio com
pequeno dá
, aumentando
; portanto esses cantos são candidatos a mínimo local.
Aresta
(com
):
mesma análise: máximo restrito em
(não é máximo local no domínio, porque entrar em
aumenta
), mínimos restritos em
(pontos
e
com valor
são candidatos a mínimos locais).
Aresta
(com
):
máximo restrito em
(ponto
não é máximo local no domínio, porque para
pequeno
aumenta
), mínimos restritos em
(já considerados como cantos).
Aresta
(com
):
mesma análise que acima.
Passo 6
Concluir quais pontos são realmente extremos locais no domínio inteiro. Observação útil e simples: para todo
temos
. Portanto para todo
no domínio,
A igualdade
ocorre somente quando
e
, ou seja quando
e
. Portanto os quatro cantos
são pontos onde
atinge seu valor mínimo
. Como qualquer movimento interior a partir desses cantos aumenta
(pois alguma das senos fica positiva), esses quatro pontos são mínimos locais (e, na verdade, mínimos globais).
Quanto a máximos: vimos um único ponto crítico interior
que é máximo local; além disso, pela desigualdade
para
, temos
e a igualdade acontece exatamente em
. Logo esse ponto é máximo global (e portanto também máximo local).
Pontos na fronteira que eram máximos restritos à aresta, como
ou
, não são máximos locais no domínio porque mover um pouco para dentro do retângulo aumenta
.
Passo 7
Resumo final e classificação dos extremos relativos (e observação sobre serem globais):
- Máximo localizado em
com valor . É máximo local e também máximo global. - Mínimos localizados nos quatro cantos
, , , com valor . São mínimos locais e também mínimos globais.