Determine (se existir) os extremos relativos de f :
f(x, y)=\operatorname{sen} x+\operatorname{sen} y ; onde x, y \in[0, \pi]

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=\operatorname{sen}x+\operatorname{sen}y definida no domínio fechado e limitado [0,\pi]\times[0,\pi].
O que é pedido: determinar (se existirem) os extremos relativos de f — isto é, localizar pontos do domínio onde f tem máximo ou mínimo local e classificá-los (máximo, mínimo ou sela).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função é f(x,y)=\operatorname{sen}x+\operatorname{sen}y.
  • O domínio é o retângulo [0,\pi]\times[0,\pi].
  • Como o domínio é fechado e f é contínua, sabemos que existirão máximos e mínimos globais; porém pedimos os extremos relativos (locais) e sua classificação.

Passo 2

Vamos procurar pontos críticos no interior do domínio. Conceito rápido: um ponto interior (x_0,y_0) é crítico se as derivadas parciais primeiras se anulam ali — isto equivale à condição \nabla f(x_0,y_0)=\mathbf{0}. Primeiro calculemos as derivadas parciais de f.
As derivadas parciais são:
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(\operatorname{sen}x+\operatorname{sen}y)=\cos x,
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(\operatorname{sen}x+\operatorname{sen}y)=\cos y.
Um ponto interior crítico satisfaz
\cos x=0\quad\text{e}\quad\cos y=0.

Passo 3

Resolver \cos x=0 e \cos y=0 no intervalo [0,\pi]. Sabemos que \cos t=0 quando t=\pi/2 (dentro de [0,\pi] a única solução é t=\pi/2). Portanto o único ponto crítico no interior do domínio é
\left(\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right).
O valor de f nesse ponto é
f\!\left(\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)=\operatorname{sen}\frac{\pi}{2}+\operatorname{sen}\frac{\pi}{2}=1+1=2.

Passo 4

Classificação do ponto crítico usando a matriz Hessiana (teste das segundas derivadas). Conceito rápido: para funções de duas variáveis, calculamos
f_{xx}=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2},\quad f_{yy}=\frac{\partial^2 f}{\partial y^2},\quad f_{xy}=\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}.
Então o discriminante é D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2. Se D>0 e f_{xx}<0 temos máximo local; se D>0 e f_{xx}>0 temos mínimo local; se D<0 temos ponto de sela; se D=0 o teste é inconclusivo.
Calcule as segundas derivadas:
f_{xx}(x,y)=-\operatorname{sen}x,\qquad f_{yy}(x,y)=-\operatorname{sen}y,\qquad f_{xy}(x,y)=0.
No ponto \left(\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) temos
f_{xx}=-1,\quad f_{yy}=-1,\quad f_{xy}=0.
Logo
D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2=(-1)\cdot(-1)-0=1>0,
e f_{xx}=-1<0. Pelo teste, \left(\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) é um ponto de máximo local. Como o valor aí é 2 e não existe valor maior possível (pois \operatorname{sen} \le 1), esse máximo é também máximo global no domínio.

Passo 5

Agora precisamos checar as arestas (fronteira) do domínio: extremos relativos podem ocorrer também na fronteira. Estratégia: em cada aresta fixamos uma variável e tratamos a função como função de uma variável no intervalo restante, localizamos extremos dessa função unidimensional e então verificamos se esses pontos são realmente extremos locais no contexto bidimensional.
Aresta x=0 (com y\in[0,\pi]):
f(0,y)=\operatorname{sen}0+\operatorname{sen}y=\operatorname{sen}y.
Esta função tem máximo em y=\pi/2 (valor 1) e mínimos nos extremos y=0,\pi (valor 0). Mas atenção: um máximo da função restrita à aresta não garante máximo local na região bidimensional porque podemos mover um pouco para dentro do domínio (em direção a x>0). Por exemplo, no ponto (0,\pi/2) temos f=1, porém para x>0 pequeno \operatorname{sen}x\approx x>0, então f(x,\pi/2)=\operatorname{sen}x+1>1; logo (0,\pi/2) não é máximo local no domínio bidimensional. Já os pontos (0,0) e (0,\pi) têm valor 0 e qualquer movimento para dentro do domínio com x>0 pequeno dá \operatorname{sen}x>0, aumentando f; portanto esses cantos são candidatos a mínimo local.
Aresta x=\pi (com y\in[0,\pi]):
f(\pi,y)=\operatorname{sen}\pi+\operatorname{sen}y=\operatorname{sen}y,
mesma análise: máximo restrito em y=\pi/2 (não é máximo local no domínio, porque entrar em x<\pi aumenta \operatorname{sen}x), mínimos restritos em y=0,\pi (pontos (\pi,0) e (\pi,\pi) com valor 0 são candidatos a mínimos locais).
Aresta y=0 (com x\in[0,\pi]):
f(x,0)=\operatorname{sen}x,
máximo restrito em x=\pi/2 (ponto (\pi/2,0) não é máximo local no domínio, porque para y>0 pequeno \operatorname{sen}y>0 aumenta f), mínimos restritos em x=0,\pi (já considerados como cantos).
Aresta y=\pi (com x\in[0,\pi]):
f(x,\pi)=\operatorname{sen}x,
mesma análise que acima.

Passo 6

Concluir quais pontos são realmente extremos locais no domínio inteiro. Observação útil e simples: para todo t\in[0,\pi] temos \operatorname{sen}t\ge 0. Portanto para todo (x,y) no domínio,
f(x,y)=\operatorname{sen}x+\operatorname{sen}y\ge 0.
A igualdade f(x,y)=0 ocorre somente quando \operatorname{sen}x=0 e \operatorname{sen}y=0, ou seja quando x\in\{0,\pi\} e y\in\{0,\pi\}. Portanto os quatro cantos (0,0),(0,\pi),(\pi,0),(\pi,\pi) são pontos onde f atinge seu valor mínimo 0. Como qualquer movimento interior a partir desses cantos aumenta f (pois alguma das senos fica positiva), esses quatro pontos são mínimos locais (e, na verdade, mínimos globais).
Quanto a máximos: vimos um único ponto crítico interior \left(\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) que é máximo local; além disso, pela desigualdade \operatorname{sen}t\le 1 para t\in[0,\pi], temos
f(x,y)\le 1+1=2,
e a igualdade acontece exatamente em \left(\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right). Logo esse ponto é máximo global (e portanto também máximo local).
Pontos na fronteira que eram máximos restritos à aresta, como (0,\pi/2) ou (\pi/2,0), não são máximos locais no domínio porque mover um pouco para dentro do retângulo aumenta f.

Passo 7

Resumo final e classificação dos extremos relativos (e observação sobre serem globais):
  • Máximo localizado em \left(\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right) com valor f=2. É máximo local e também máximo global.
  • Mínimos localizados nos quatro cantos (0,0), (0,\pi), (\pi,0), (\pi,\pi) com valor f=0. São mínimos locais e também mínimos globais.

Resposta

\left(\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right) é máximo (local e global) com f=2.
(0,0),\\ (0,\pi),\\ (\pi,0),\\ (\pi,\pi) são mínimos (locais e globais) com f=0.

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